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प्रश्न
एक 28 cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
उत्तर १
माना तार के एक भाग की लंबाई x सेमी है तब दूसरा भाग = (28 – x) सेमी होगा।
माना x लंबाई वाला भाग। त्रिज्या वाले वृत्त में बदला गया है।
⇒ 4πr3 - 200 = 0
⇒ r = `(50/pi)^(1//3)`
पुनः अवकलन करने पर
`("d"^2"S")/"dr"^2 = 400/"r"^3 + 4pi = + "ve"` ...[∵ r > 0]
यदि S निम्नतम है।
अब, r = `(50/pi)^(1//3)`
`=> "h" = 100/(pi"r"^2) = 100/pi (pi/50)^(2//3)`
`= 2(50/pi)(pi/50)^(2//3)`
`= 2(50/pi)^(1//3)`
`=> "r" = (50/pi)^(1//3)`
तथा h = `2(50/pi)^(1//3)`
अवकलन करने पर,
`"dA"/"dx" = 1/(4pi) * 2x + 1/16 * 2(28 - x)(x - 1)`
`= x/(2pi) - 1/8(28 - x)`
`("d"^2"A")/"dx"^2 = 1/(2pi) + 1/8` = + ve
∴ A निम्नतम है।
न्यूनतम क्षेत्र के लिए, `"dA"/"dx" = 0`
`=> x/(2pi) = 1/8 (28 - x)`
⇒ 4x = 28π - πx
⇒ (4 + π)x = 28π
`=> x = (28 pi)/(4 + pi)`
∴ एक भाग; x = `(28 pi)/(4 + pi)`
दूसरा भाग = `(28 - (28 pi)/(4 + pi)) = 112/(4 + pi)` सेमी
उत्तर २
मान लीजिए एक टुकड़े की लंबाई x मीटर है और दूसरे टुकड़े की लंबाई (28 - x) मीटर है। मान लीजिए वृत्त के आकार में मोड़े गए टुकड़े की लंबाई x मीटर है और वर्ग के आकार में मोड़े गए दूसरे टुकड़े की लंबाई (28 - x) मीटर है।
परिधि = 2πr
⇒ 2πr = x
⇒ `r = x/(2pi)`
वृत्त का क्षेत्रफल = π (त्रिज्या)2
`= pi (x/(2pi))^2 = x^2/(4pi)`
वर्ग का परिमाप = 4 भुजा
⇒ 28 - x = 4 भुजा
⇒ भुजा= `(28 - x)/4`
⇒ वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)2
`= ((28 - x)/4)^2`
`= (28 - x)^2/16`
मान लीजिए A दोनों आकृतियों के क्षेत्रफलों का योग है, तो
`A = x^2/(4pi) + (28 - x)^2/16`
x के संबंध में विभेद करने पर, हमें प्राप्त होता है।
`(dA)/dx = (2x)/(4pi) + (2 (28 - x)(-1))/16`
`= x/(2pi) - (28 - x)/8`
अधिकतम / न्यूनतम के लिए, `(dA)/dx = 0`
⇒ `x / (2pi) - (28 - x)/8 = 0`
⇒ ` (4x - 28pi + xpi)/(8pi) = 0`
⇒ `4x + xpi = 28 pi`
⇒ `x = (28pi)/ (4 + pi)`
⇒ `(d^2A)/dx^2 = 1/(2pi) - (-1)/8 = 1/ (2pi) + 1/8`
तथा `((d^2A)/dx^2)_(x = (28pi)/(4+pi))`
`= 1/(2pi) + 1/8 > 0`
अतः क्षेत्र A न्यूनतम है।
∴ तार को एक सिरे से `(28pi)/(4+pi)` मीटर की दूरी पर काटा जाना चाहिए।
इसलिए, दो टुकड़ों की लंबाई `(28pi)/(4 + pi)` मीटर और `(28 - (28pi)/(4+pi)) मीटर 112/(4 + pi)` मीटर है।
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