Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:
`1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ((n(n+1))/2)^2`
उत्तर
माना
`P(n) : 1^3 + 2^3 + 3^3 + ..... + n^3 = (n^2 (n + 1)^2)/4`
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 13 =1
दायाँ पक्ष = `(1^2 (1 +1 )^2)/4`
= `4/4 = 1`
∴ n = 1 के लिए P(n) सत्य है।
मान लीजिए कथन n = k के लिए सत्य है।
∴ `1^3 + 2^3 + 3^3 + k^3 = (k^2 (k + 1)^2)/4`
दोनों ओर `(k + 1)^3` जोड़ने पर,
`1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + k^3 + (k + 1)^3 = (k^2 (k + 1)^2)/4 + (k + 1)^3`
= `(k + 1)^2 [k^2/4 + (k + 1)]`
= `(k + 1)^2 [(k^2 + 4k + 4 )/4]`
= `((k +1)^2 (k + 2)^2)/4`
∴ `1^2 + 2^3 + 3^3 + .... + (k + 1)^3 = ((k+1)^2 (k + 2)^2)/4`
`((k+1)^2 (k +1 +1 )^2)/4`
इससे सिद्ध हुआ कि यदि P(n) मान n = k के लिए सत्य है तो P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n के सभी मान के लिए सत्य होगा यदि n ϵ N.
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:
`1 + 3 + 3^2 + ... + 3^(n – 1) =((3^n -1))/2`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि `1+ 1/((1+2)) + 1/((1+2+3)) +...+ 1/((1+2+3+...n)) = (2n)/(n +1)`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: `1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n = 1 - 1/2^n`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n -1)^2 = (n(2n - 1) (2n + 1))/3`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3n - 2)(3n + 1)) = n/((3n + 1))`
102n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
32n+2 – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए, `(1 - 1/2^2).(1 - 1/3^2)...(1 - 1/n^2) = (n + 1)/(2n)`
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए 2n + 1 < 2n.
किसी अनुक्रम a1, a2, a3... को इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि a1 = 2, an = 5 an–1. जो सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए,
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, अनुक्रम के पद, सूत्र an = 2.5n–1 को संतुष्ट करते हैं।
गणितीय आगमन के सिद्धान्त द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + n × n! = (n + 1)! – 1
एक विद्यार्थी को किसी कथन P(n) को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने के लिए कहा गया। उसने सिद्ध किया कि, सभी k > 5 ∈ N के लिए P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है और यह कि P(5) भी सत्य है। इसके आधार पर उसने निष्कर्ष निकाला कि P(n) सत्य है,
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 23n − 1, संख्या 7 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए 32n − 1 संख्या 8 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, `sqrtn<1/sqrt1+1/sqrt2+…+1/sqrtn`
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2n + 1 − 1.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1)
सभी प्राकृत संख्या k के लिए एक अनुक्रम b0, b1, b2 ...., b0 = 5 तथा bk = 4 + bk − 1 द्वारा परिभाषित है। गणितीय आगमन के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए bn = 5 + 4n.
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि,
cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin beta/2)`
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = ((sin ntheta)/2 sin(n + 1)/2theta)/(sin theta/2)`
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `n^5/5 + n^3/3 + (7n)/15` एक प्राकृत संख्या है।
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि n भिन्न-भिन्न distinct अवयव वाले (अंतर्विष्ट किए हुए) समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2n है।
सभी n ∈ N के लिए, `3.5^{2n + 1} + 2^{3n + 1}`, निम्नलिखित में से किस संख्या से भाज्य है:
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है। औचित्य भी बताइए:
मान लीजिए कि P(n) एक कथन है और मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(k) ⇒ P(k + 1), तो P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
