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Question
सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:
`1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ((n(n+1))/2)^2`
Solution
माना
`P(n) : 1^3 + 2^3 + 3^3 + ..... + n^3 = (n^2 (n + 1)^2)/4`
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 13 =1
दायाँ पक्ष = `(1^2 (1 +1 )^2)/4`
= `4/4 = 1`
∴ n = 1 के लिए P(n) सत्य है।
मान लीजिए कथन n = k के लिए सत्य है।
∴ `1^3 + 2^3 + 3^3 + k^3 = (k^2 (k + 1)^2)/4`
दोनों ओर `(k + 1)^3` जोड़ने पर,
`1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + k^3 + (k + 1)^3 = (k^2 (k + 1)^2)/4 + (k + 1)^3`
= `(k + 1)^2 [k^2/4 + (k + 1)]`
= `(k + 1)^2 [(k^2 + 4k + 4 )/4]`
= `((k +1)^2 (k + 2)^2)/4`
∴ `1^2 + 2^3 + 3^3 + .... + (k + 1)^3 = ((k+1)^2 (k + 2)^2)/4`
`((k+1)^2 (k +1 +1 )^2)/4`
इससे सिद्ध हुआ कि यदि P(n) मान n = k के लिए सत्य है तो P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n के सभी मान के लिए सत्य होगा यदि n ϵ N.
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