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Question
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3n - 2)(3n + 1)) = n/((3n + 1))`
Solution
माना
P(n) : `1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3n - 2)(3n + 1)) = n/((3n + 1))`
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = `1/(1.4) = 1/ 4`
दायाँ पक्ष = `n/(3n +i) = 1/(3+1) = 1/4`
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3k - 2)(3k + 1)) = k/((3k + 1))`
(k + 1) वाँ पद = `1/([3(k+1)-2][3(k+1)+1]) = 1/((3k +1)(3k +4))` दोनों के पक्षों में जोड़ने पर,
∴ `1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3k - 2)(3k + 1)) + 1/((3k +1)(3k +4))`
= `k/(3k +1) + 1/((3k +1)(3k +4))`
= `1/(3k+1) [k + 1/(3k +4)]`
= `(k(3k +4)+1)/((3k + 1)(3k +4))`
= `(3k^2 +4k +1)/((3k +1)(3k+4))`
= `((3k + 1)(k +1))/((3k +1)(3k +4)) =(k +1)/(3k +4)`
= `(k+1)/(3(k+1)+1`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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