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मान लीजिए कि P(n) : “2n < (1 × 2 × 3 × ... × n)”, तो न्यूनतम धन पूर्णाक, जिसके लिए P(n) सत्य है, - Mathematics (गणित)

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Question

मान लीजिए कि P(n) : “2n < (1 × 2 × 3 × ... × n)”, तो न्यूनतम धन पूर्णाक, जिसके लिए P(n) सत्य है,

Options

  • 1

  • 2

  • 3

  • 4

MCQ

Solution

4

स्पष्टीकरण:

क्योंकि,

P(1) : 2 < 1 असत्य है। 

P(2) : 22 < 1 × 2 असत्य है।

P(3) : 23 < 1 × 2 × 3 असत्य है।

लेकिन P(4) : 24 < 1 × 2 × 3 × 4 सत्य है।

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गणितीय आगमन का सिद्धांत
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Chapter 4: गणितीय आगमन का सिद्धांत - हल किए हुए उदहारण [Page 69]

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NCERT Exemplar Mathematics [Hindi] Class 11
Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत
हल किए हुए उदहारण | Q 11 | Page 69

RELATED QUESTIONS

सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:

`1 + 3 + 3^2 + ... + 3^(n – 1) =((3^n -1))/2`


सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:

`1^3 +  2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ((n(n+1))/2)^2`


सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:

`1.3 + 2.3^2 + 3.3^3 + .... + n.3^n = ((2n - 1)3^(n +1) + 3)/4`


सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: 

1.2 + 2.3 + 3.4+ ... + n(n+1) = `[(n(n+1)(n+2))/3]`


सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:

1.3 + 3.5 + 5.7 + ...+(2n -1)(2n + 1) = `(n(4n^2 + 6n -1))/3`


सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:

1.2 + 2.22 + 3.22 + ………. + n.2n = (n – 1). 2n+1 + 2


सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:

`(1+3/1)(1+ 5/4)(1+7/9)...(1 + ((2n + 1))/n^2) = (n + 1)^2`


सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:

`(1+ 1/1)(1+ 1/2)(1+ 1/3)...(1+ 1/n) = (n + 1)`


41n – 14n, संख्या 27 का एक गुणज है।


गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सिद्ध कीजिए कि `sum_(t = 1)^(n - 1) t(t + 1) = (n(n - 1)(n + 1))/3`


गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

22n - 1 संख्या 3 से भाज्य है।


गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए 2n + 1 < 2n.


आगमन विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, sinα + sin(α + β) + sin(α + 2β)+ ... + sin(α + (n – 1)β)

= `(sin (alpha + (n - 1)/2 beta)sin((nbeta)/2))/(sin(beta/2))`


गणितीय आगमन के सिद्धान्त द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + n × n! = (n + 1)! – 1


एक विद्यार्थी को किसी कथन P(n) को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने के लिए कहा गया। उसने सिद्ध किया कि, सभी k > 5 ∈ N के लिए P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है और यह कि P(5) भी सत्य है। इसके आधार पर उसने निष्कर्ष निकाला कि P(n) सत्य है,


गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 4n − 1 संख्या 3 से भाज्य है।


गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, n3 − 7n + 3, संख्या 3 भाज्य है।


गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, n3 − n, संख्या 6 से भाज्य है।


गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n2 + 5), संख्या 6 से भाज्य है।


गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n ≥ 5 के लिए, n2 < 2n.


गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, `sqrtn<1/sqrt1+1/sqrt2+…+1/sqrtn`


गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n2 + n.


सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि,

cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n  - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin  beta/2)`


सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, cosθ cos2θ cos22θ ... cos2n−1θ = `(sin2^nθ)/(2^nsinθ)`.


सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `n^5/5 + n^3/3 + (7n)/15` एक प्राकृत संख्या है।


सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि n भिन्न-भिन्न distinct अवयव वाले (अंतर्विष्ट किए हुए) समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2n है।


यदि xn − 1.x − k, से भाज्य है, तो k का न्यूनतम पूर्णांक है:


यदि P(n) : 2n < n!, n ∈ N, तो P(n) सभी n ≥ ______ के लिए सत्य है।


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