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Question
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
1.2 + 2.22 + 3.22 + ………. + n.2n = (n – 1). 2n+1 + 2
Solution
P(n) : 1.2 + 2.22 + 3.23 + ………. + n.2n = (n – 1) 2n+1 + 2
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2
दायाँ पक्ष = (n – 1) 2n+1 + 2 = 0 + 2 = 2
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 1.2 + 2.22 + 3.23 + ……… + k.2k = (k – 1).2k+1 + 2
(k + 1) वॉ पद = (k + 1).2k+1 को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
1.2 + 2.22 + 3.23 + ……….. + k.2k + (k + 1).2k+1 = (k – 1).2k+1 + 2 + (k + 1).2k+1
= (k – 1 + k + 1).2k+1 + 2
= 2k.2k+1 + 2 = k.2k+2 + 2
= `k +1 - 1), 2^(k +1) + 1 + 2`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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