Question

सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:

1.2 + 2.2² + 3.2² + ………. + n.2ⁿ = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2

Answer 1

P(n) : 1.2 + 2.2² + 3.2³ + ………. + n.2ⁿ = (n – 1) 2ⁿ⁺¹ + 2
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2

दायाँ पक्ष = (n – 1) 2ⁿ⁺¹ + 2 = 0 + 2 = 2
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

∴ 1.2 + 2.2² + 3.2³ + ……… + k.2^k = (k – 1).2^k+1 + 2
(k + 1) वॉ पद = (k + 1).2^k+1 को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,

1.2 + 2.2² + 3.2³ + ……….. + k.2^k + (k + 1).2^k+1 = (k – 1).2^k+1 + 2 + (k + 1).2^k+1

= (k – 1 + k + 1).2^k+1 + 2

= 2k.2^k+1 + 2 = k.2^k+2 + 2

= `k +1 - 1), 2^(k +1) + 1 + 2`

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।