Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: `1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3n - 1)(3n + 2)) = n/(6n + 4)`
उत्तर
माना P(n) : `1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3n - 1)(3n + 2)) = n/(6n + 4)`
यदि n = 1
बायाँ पक्ष = `1/2.5 = 1/10`
दायाँ पक्ष = `"n"/(6"n" + 4) = 1/(6 +4) = 1/10`
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3k - 1)(3k + 2)) = k/(6k + 4)`
(k + 1) वॉ पद = `k/([3(k +1) - 1][3(k +1) +2]` = `k/((3k + 2)(3k + 5))` दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
`1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3k - 1)(3k + 2)) = 1/((3k + 2)(3k +5))`
= `k/(6k + 4) + 1/((3k + 2)(3k +5))`
= `(k(3k + 5)+2)/(2(3k + 2)(3k + 5)`
= `(3k^2 + 5k + 2)/(2(3k + 2)(3k + 5)`
= `((3k + 2)(k +1))/(2(3k + 2)(3k + 5)`
= `(k + 1)/(6k + 10)`
= `(k + 1)/(6(k + 1) + 4`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि `1+ 1/((1+2)) + 1/((1+2+3)) +...+ 1/((1+2+3+...n)) = (2n)/(n +1)`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1) (n + 2) = `(n(n+1)(n+2)(n+3))/4`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
1.2 + 2.3 + 3.4+ ... + n(n+1) = `[(n(n+1)(n+2))/3]`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
1.2 + 2.22 + 3.22 + ………. + n.2n = (n – 1). 2n+1 + 2
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: `1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n = 1 - 1/2^n`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/(1.2.3) + 1/(2.3.4) + 1/(3.4.5) + ...+ 1/(n(n+1)(n+2)) = (n(n+3))/(4(n+1) (n+2))`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`(1+ 1/1)(1+ 1/2)(1+ 1/3)...(1+ 1/n) = (n + 1)`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + ...+ 1/((2n + 1)(2n +3)) = n/(3(2n +3))`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3n - 2)(3n + 1)) = n/((3n + 1))`
x2n – y2n, (x + y) से भाज्य है।
(2n + 7) < (n+ 3)2
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सिद्ध कीजिए कि `sum_(t = 1)^(n - 1) t(t + 1) = (n(n - 1)(n + 1))/3`
आगमन विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, sinα + sin(α + β) + sin(α + 2β)+ ... + sin(α + (n – 1)β)
= `(sin (alpha + (n - 1)/2 beta)sin((nbeta)/2))/(sin(beta/2))`
गणितीय आगमन के सिद्धान्त द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + n × n! = (n + 1)! – 1
मान लीजिए कि P(n) : “2n < (1 × 2 × 3 × ... × n)”, तो न्यूनतम धन पूर्णाक, जिसके लिए P(n) सत्य है,
एक ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए, जो सभी n ≥ 4 के लिए सत्य है किंतु P(1), P(2) तथा P(3) सत्य नहीं है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 23n − 1, संख्या 7 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
किसी प्राकृत संख्या n के लिए, xn − yn, x − y से भाज्य है, जहाँ x तथा y पूर्णांक है और x ≠ y.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, n3 − n, संख्या 6 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n ≥ 5 के लिए, n2 < 2n.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, `sqrtn<1/sqrt1+1/sqrt2+…+1/sqrtn`
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n2 + n.
सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए अनुक्रम d1, d2, d3 ..., d1 = 2 तथा `d_k = (d_{k - 1})/k` द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी n ∈ N के लिए, `d_n = 2/(n!)`.
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि,
cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin beta/2)`
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = ((sin ntheta)/2 sin(n + 1)/2theta)/(sin theta/2)`
सभी प्राकृत संख्या n > 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि `1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) > 13/24`.
