बीजगणित (algebra) के वितरण नियम द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं c, a1 और a2 के लिए, c(a1 + a2) = ca1 + ca2. इस वितरण नियम तथा गणितीय आगमन का प्रयोग करके, सिद्ध कीजिए कि, सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 - Mathematics (गणित)

प्रश्न

बीजगणित (algebra) के वितरण नियम द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं c, a₁ और a₂ के लिए, c(a₁ + a₂) = ca₁ + ca₂. इस वितरण नियम तथा गणितीय आगमन का प्रयोग करके, सिद्ध कीजिए कि, सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2, के लिए, यदि c, a₁, a₂,..., a_n वास्तविक संख्याएँ हैं, तो c(a₁ + a₂ + ... + a_n) = ca₁ + ca₂ + ... + ca_n

प्रमेय

उत्तर

मान लीजिए कि P(n) प्रदत्त कथन है, अर्थात्‌ सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए यदि c, a₁, a₂, ......a_n ∈ R, तो P(n) : c(a₁ + a₂ + ... + a_n) = ca₁ + ca₂ + ... ca_n.

हम देखते हैं कि P(2) सत्य है, क्योंकि,

c(a₁ + a₂) = ca₁ + ca₂ (वितरण नियम द्वारा)

मान लीजिए कि किसी-किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(n) सत्य है, जहाँ k > 2, अर्थात्‌, P(k) : c(a₁ + a₂ + ... + a_k) = ca₁ + ca₂ + ... + ca_k

अब P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए, हम देखते हैं कि,

P(k + 1) : c(a₁ + a₂ + ... + a_k + a_{k + 1})

= c((a₁ + a₂ + ... + a_k) + a_{k + 1})

= c(a₁ + a₂ + ... + a_k) + ca_k+1 ........(वितरण नियम द्वारा)

= ca₁ + ca₂ + ... + ca_k + ca_{k + 1}

अतएव जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, P(n) सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सत्य है।

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गणितीय आगमन का सिद्धांत

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अध्याय 4: गणितीय आगमन का सिद्धांत - हल किए हुए उदहारण [पृष्ठ ६५]

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एनसीईआरटी एक्झांप्लर Mathematics [Hindi] Class 11

अध्याय 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत
हल किए हुए उदहारण | Q 7 | पृष्ठ ६५

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