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Question
बीजगणित (algebra) के वितरण नियम द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं c, a1 और a2 के लिए, c(a1 + a2) = ca1 + ca2. इस वितरण नियम तथा गणितीय आगमन का प्रयोग करके, सिद्ध कीजिए कि, सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2, के लिए, यदि c, a1, a2,..., an वास्तविक संख्याएँ हैं, तो c(a1 + a2 + ... + an) = ca1 + ca2 + ... + can
Solution
मान लीजिए कि P(n) प्रदत्त कथन है, अर्थात् सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए यदि c, a1, a2, ......an ∈ R, तो P(n) : c(a1 + a2 + ... + an) = ca1 + ca2 + ... can.
हम देखते हैं कि P(2) सत्य है, क्योंकि,
c(a1 + a2) = ca1 + ca2 (वितरण नियम द्वारा)
मान लीजिए कि किसी-किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(n) सत्य है, जहाँ k > 2, अर्थात्, P(k) : c(a1 + a2 + ... + ak) = ca1 + ca2 + ... + cak
अब P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए, हम देखते हैं कि,
P(k + 1) : c(a1 + a2 + ... + ak + ak + 1)
= c((a1 + a2 + ... + ak) + ak + 1)
= c(a1 + a2 + ... + ak) + cak+1 ........(वितरण नियम द्वारा)
= ca1 + ca2 + ... + cak + cak + 1
अतएव जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, P(n) सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सत्य है।
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