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Question
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1+2+ 3+...+n<1/8(2n +1)^2`
Solution
माना P(n) `1+2+ 3 +...+n<1/8(2n +1)^2`
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 1
दायाँ पक्ष = `1/8 (2n +1)^2`
= `1/8 xx 3^2 = 9/8`
< `9/8`
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `1+2+ 3 +...+k<1/8(2k +1)^2`
(k +1) वाँ पद = k + 1 दोनों के पक्षों में जोड़ने पर,
बायाँ पक्ष = 1 + 2 + 3 +...+ k + (k+1)
`1/8 (2k +1)^2 + (k + 1) = 1/8 [(2k + 1)^2 + 8 (k + 1)]`
= `1/8 [4k^2 + 4k + 1 + 8k + 8]`
= `1/8 [4k^2 + 12k +9]`
= `1/8 (2k +3)^2 = 1/8 [2(k + 1) + 1]^2`
∴ `1+2+ 3+...+k<1/8[2(k +1)]^2`
⇒ P(n) , n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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