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Question
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि n भिन्न-भिन्न distinct अवयव वाले (अंतर्विष्ट किए हुए) समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2n है।
Solution
देखिए P(n) भिन्न अवयव वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2n, ∀ n ∈ N है।
उस पर गौर करें, n = 1 के लिये P(1) यह सच है।
इसलिए, उपसमुच्चय की संख्या = 21 = 2 सच माना जाता है क्योंकि उपसमुच्चय की संख्या इसलिए, P(1) के लिए यह सच है।
ध्यान मे लो की, n = k के लिए P(k) सच माना जाता है क्योंकि उपसमुच्चय की संख्या 2k है।
इसलिए, P(k) यह भी सच होना चाहिए।
P(k + 1) के लिए हल,
यह जान लें कि, यदि दिए गए समुच्चय के तत्वों में एक संख्या को जोड़ा जाता है, तो उपसमुच्चयों की संख्या दोगुनी हो जाती है।
इसलिए, अलग अवयव वाले = `2 × 2^k = 2^{k + 1}` समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या (k + 1)।
इसलिए, जब भी P(k) सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।
यह साबित हो जाता है कि, एक समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या जिसमें n अलग-अलग अवयव हैं, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए 2n सही है।
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