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Question
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
1.3 + 3.5 + 5.7 + ...+(2n -1)(2n + 1) = `(n(4n^2 + 6n -1))/3`
Solution
P(n) : 1.3 + 3.5 + 5.7 +….+ (2n – 1)(2n + 1) = `(n(4n^2 + 6n -1))/3`
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.3 = 3
दायाँ पक्ष `(n(4n^2 + 6n -1))/3`
= `(1.(4.1^2 + 6.1 -1))/3`
= `(4 + 6 -1)/3 = 9/3 = 3`
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
∴ `1.3 + 3.5 + 5.7 + .... + (2k - 1) (2k + 1) = (k(4k^2 + 6k - 1))/3`
(k + 1) वाँ पद = [2(k +1) - 1] [2(k +1) +1] = (2k + 1)(2k + 3) दोनों के पक्षों में जोड़ने पर, 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + (2k - 1)(2k +1)+(2k +1)(2k +3)
= `(k(4k^2 + 6k - 1))/3 + (2k +1) (2k + 3)`
= `(4k^3 + 6k^2 - k + 3(2k +1)(2k +3))/3`
= `(4k^3 + 6k^2 - k + 3(4k^2 + 8k +3))/3`
= `(4k^3 + 18k^2 + 23k + 9)/3`
= `((k +1)[4(k + 1)^2 + 6(k + 1) - 1])/3`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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