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Question
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
22n - 1 संख्या 3 से भाज्य है।
Solution
मान लीजिए कि प्रदत्त कथन P(n) है अर्थात् P(n) : 22n – 1, संख्या 3 से भाज्य है (सभी प्राकृत संख्या n के लिए) हम देखते हैं कि, P(1) सत्य है, क्योंकि
22 – 1 = 4 – 1 = 3.1 जो संख्या 3 से भाज्य है।
मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(n) सत्य है, अर्थात् P(k) : 22k – 1 संख्या 3 से भाज्य है, अर्थात् 22k – 1 = 3q, जहाँ q ∈ N अब P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए हम देखते हैं कि,
P(k + 1) : `2^(2(k + 1)) - 1`
= `2^(2k + 2) – 1`
= 22k . 22 – 1
= 22k . 4 – 1
= 3.22k + (22k – 1)
= 3.22k + 3q
= 3(22k + q) = 3m, जहाँ m ∈ N
अतएव, जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से, सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, P(n) सत्य है।
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