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Question
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि `1+ 1/((1+2)) + 1/((1+2+3)) +...+ 1/((1+2+3+...n)) = (2n)/(n +1)`
Solution
मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,
`P(n) 1+ 1/((1+2)) + 1/((1+2+3)) +...+ 1/((1+2+3+...n)) = (2n)/(n +1)`
n = 1 के लिए, हमारे पास है
P(1) = `P(1): 1 = (2.1)/(1+1) = 2/2 = 1`
जो की सत्य है।
किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिये की P(k) सत्य है, अर्थात
`1 + (1)/(1 + 2) + (1)/(1 + 2 + 3) +.... + (1)/(1 + 2 +3 + ...k ) = (2(k))/(k+1)`
अब यह सिद्ध करेंगे P(K+1) भी सत्य है,
विचार करें
`1 + (1)/(1 +2) + (1)/(1 + 2 + 3) + ....+ (1)/(1 + 2 + 3 + ......k + k + 1) = (2(k +1))/(k + 1 + 1)`
= `1 + (1)/(1 + 2) + (1)/(1 + 2 +3) + .... + (1)/(1 + 2 + 3 + .... k) + (1)/(1 + 2 + 3+ .... k + k +1)`
= `(2k)/(k + 1) + (1)/(1 + 2 + 3 + .... k + k +1)`
= `(2k)/(k + 1) + (2k)/((k +1)(k + 2)n)`
= `2/(k + 1)[k + (1)/(k + 2)]`
= `2/(k + 1) [(k(k + 2) + 1)/(k +2)]`
= `2 (k +1)[ (k + 1)^2/(k + 2)]`
= `(2(k + 1))/(k + 2)`
इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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