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Question
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 23n − 1, संख्या 7 से भाज्य है।
Solution
प्रत्येक P(n) : 23n − 1 प्राकृतिक संख्या n के लिए 7 से विभाज्य होने दें।
अब P(1) : 23 − 1 = 7 जो 7 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।
आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक संख्या n = k के लिए यह सही है।
P(k) : 23k को 7 से विभाज्य होने दें।
अथवा
23k - 1 = 7m, m ∈ N (i)
साबित करो, P(k + 1) सत्य है।
`P("k" + 1) : 2^{3("k" + 1)} − 1`
= `2^{3"k"}⋅ 2^3 − 1`
= `8(7"m" + 1) − 1`
= `56"m" + 7`
= 7(8m + 1), जो 7 से विभाज्य है।
इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।
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