Advertisements
Advertisements
Question
सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए अनुक्रम d1, d2, d3 ..., d1 = 2 तथा `d_k = (d_{k - 1})/k` द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी n ∈ N के लिए, `d_n = 2/(n!)`.
Solution
पता है कि d1 = 2 और `d_k = (d_{k − 1})/k`
देखिए P(n) : dn = `2/{n!}`
P(1) के लिए गणना करें।
इसलिए, P(1) यह सच है।
P(k) के लिए गणना करें।
इसलिए, यह भी सच है।
k = k + 1 स्थानापन्न करे।
`d_{k + 1} = d_{k + 1 − 1}/(k + 1) = d_k/(k + 1) = 1/(k + 1) . 2/(k!) = 2/((k + 1)!)`
इसलिए, P(k + 1) यह सच है।
इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1)सत्य है।
यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए `d_n = 2/{n!}` सही है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:
`1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ((n(n+1))/2)^2`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
1.2 + 2.3 + 3.4+ ... + n(n+1) = `[(n(n+1)(n+2))/3]`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`a + ar + ar^2 + ... + ar^(n -1) = (a(r^n - 1))/(r -1)`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`(1+ 1/1)(1+ 1/2)(1+ 1/3)...(1+ 1/n) = (n + 1)`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n -1)^2 = (n(2n - 1) (2n + 1))/3`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + ...+ 1/((2n + 1)(2n +3)) = n/(3(2n +3))`
n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।
x2n – y2n, (x + y) से भाज्य है।
(2n + 7) < (n+ 3)2
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सिद्ध कीजिए कि `sum_(t = 1)^(n - 1) t(t + 1) = (n(n - 1)(n + 1))/3`
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए 2n + 1 < 2n.
किसी अनुक्रम a1, a2, a3... को इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि a1 = 2, an = 5 an–1. जो सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए,
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, अनुक्रम के पद, सूत्र an = 2.5n–1 को संतुष्ट करते हैं।
मान लीजिए कि P(n) : “2n < (1 × 2 × 3 × ... × n)”, तो न्यूनतम धन पूर्णाक, जिसके लिए P(n) सत्य है,
एक विद्यार्थी को किसी कथन P(n) को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने के लिए कहा गया। उसने सिद्ध किया कि, सभी k > 5 ∈ N के लिए P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है और यह कि P(5) भी सत्य है। इसके आधार पर उसने निष्कर्ष निकाला कि P(n) सत्य है,
बताइए कि गणितीय आगमन द्वारा कथन P(n) : 12 + 22 + ... + n2 = `(n(n + 1)(2n + 1))/6` की निम्नलिखित उपपत्ति सत्य है या असत्य है।
उपपत्ति गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा n = 1 के लिए P(n) सत्य है, क्योंकि
`1^2 = 1 = (1(1 + 1)(2.1 + 1))/6` पुन: किसी k ≥ 1 के लिए k2 = `(k(k + 1)(2k + 1))/6`
अब हम सिद्ध करेंगे कि `(k + 1)^2 = ((k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1))/6`
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 4n − 1 संख्या 3 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 23n − 1, संख्या 7 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए 32n − 1 संख्या 8 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
किसी प्राकृत संख्या n के लिए, xn − yn, x − y से भाज्य है, जहाँ x तथा y पूर्णांक है और x ≠ y.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, n3 − n, संख्या 6 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n2 + 5), संख्या 6 से भाज्य है।
सभी प्राकृत संख्या k के लिए एक अनुक्रम b0, b1, b2 ...., b0 = 5 तथा bk = 4 + bk − 1 द्वारा परिभाषित है। गणितीय आगमन के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए bn = 5 + 4n.
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, cosθ cos2θ cos22θ ... cos2n−1θ = `(sin2^nθ)/(2^nsinθ)`.
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = ((sin ntheta)/2 sin(n + 1)/2theta)/(sin theta/2)`
सभी प्राकृत संख्या n > 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि `1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) > 13/24`.
यदि सभी n ∈ N के लिए, 10n + 3.4n + 2 + k, संख्या 9 से भाज्य है, तो k का लघुतम पूर्णांक मान ______।
सभी n ∈ N के लिए, `3.5^{2n + 1} + 2^{3n + 1}`, निम्नलिखित में से किस संख्या से भाज्य है:
