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Question
किसी अनुक्रम a1, a2, a3... को इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि a1 = 2, an = 5 an–1. जो सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए,
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, अनुक्रम के पद, सूत्र an = 2.5n–1 को संतुष्ट करते हैं।
Solution
मान लीजिए कि प्रदत्त कथन P(n) है, अर्थात्, सभी प्राकृत संख्याओं के लिए
P(n) : an = 2.5n–1 हम देखते हैं कि, P(1) सत्य है।
मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(n) सत्य है, अर्थात् P(k) : ak = 2.5k – 1.
अब P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए हम देखते हैं कि,
P(k + 1) : ak + 1 = 5.ak = 5.(2.5k – 1)
= `2.5^k = 2.5^{(k + 1)–1}`
अतएव, जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) सभी सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, P(n) सत्य है।
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