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Question
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, n3 − 7n + 3, संख्या 3 भाज्य है।
Solution
P(n) : n3 − 7n + 3 प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए 3 से विभाज्य होने दें।
अब P(1) : (1)3 − 7(1) + 3 = −3 जो 3 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।
आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।
P(k) = K3 – 7k + 3 को 3 से विभाज्य होने दें।
अथवा K3 – 7k + 3 = 3m, m ∈ N ..........(i)
साबित करो P(k + 1) सत्य है।
P(k + 1) : (k + 1)3 − 7(k + 1) + 3
= k3 + 1 + 3k(k + 1) − 7k − 7 + 3
= k3 − 7k + 3 + 3k(k + 1) − 6
= 3m + 3[k(k + 1) − 2]
= 3[m + (k(k + 1) − 2)], जो 3 से विभाज्य है।
इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।
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