Advertisements
Advertisements
प्रश्न
किसी अनुक्रम a1, a2, a3... को इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि a1 = 2, an = 5 an–1. जो सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए,
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, अनुक्रम के पद, सूत्र an = 2.5n–1 को संतुष्ट करते हैं।
उत्तर
मान लीजिए कि प्रदत्त कथन P(n) है, अर्थात्, सभी प्राकृत संख्याओं के लिए
P(n) : an = 2.5n–1 हम देखते हैं कि, P(1) सत्य है।
मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(n) सत्य है, अर्थात् P(k) : ak = 2.5k – 1.
अब P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए हम देखते हैं कि,
P(k + 1) : ak + 1 = 5.ak = 5.(2.5k – 1)
= `2.5^k = 2.5^{(k + 1)–1}`
अतएव, जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) सभी सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, P(n) सत्य है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:
`1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ((n(n+1))/2)^2`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1) (n + 2) = `(n(n+1)(n+2)(n+3))/4`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
1.3 + 3.5 + 5.7 + ...+(2n -1)(2n + 1) = `(n(4n^2 + 6n -1))/3`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: `1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n = 1 - 1/2^n`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`a + ar + ar^2 + ... + ar^(n -1) = (a(r^n - 1))/(r -1)`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`(1+3/1)(1+ 5/4)(1+7/9)...(1 + ((2n + 1))/n^2) = (n + 1)^2`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n -1)^2 = (n(2n - 1) (2n + 1))/3`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3n - 2)(3n + 1)) = n/((3n + 1))`
102n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
32n+2 – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि श्रेणी (series), 12 + 2 × 22 + 32 + 2 × 42 + 52 + 2 × 62 ... के n पदों का योगफल Sn, निम्नलिखित प्रकार है, Sn = `{{:((n(n + 1)^2)/2",", "यदि n सम है"),((n^2(n + 1))/2",", "यदि n विषम है"):}`
एक विद्यार्थी को किसी कथन P(n) को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने के लिए कहा गया। उसने सिद्ध किया कि, सभी k > 5 ∈ N के लिए P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है और यह कि P(5) भी सत्य है। इसके आधार पर उसने निष्कर्ष निकाला कि P(n) सत्य है,
बताइए कि गणितीय आगमन द्वारा कथन P(n) : 12 + 22 + ... + n2 = `(n(n + 1)(2n + 1))/6` की निम्नलिखित उपपत्ति सत्य है या असत्य है।
उपपत्ति गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा n = 1 के लिए P(n) सत्य है, क्योंकि
`1^2 = 1 = (1(1 + 1)(2.1 + 1))/6` पुन: किसी k ≥ 1 के लिए k2 = `(k(k + 1)(2k + 1))/6`
अब हम सिद्ध करेंगे कि `(k + 1)^2 = ((k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1))/6`
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2n < (n + 2)!
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, `sqrtn<1/sqrt1+1/sqrt2+…+1/sqrtn`
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2n + 1 − 1.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1)
सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए, एक अनुक्रम a1, a2, a3 ...., a1 = 3 तथा ak = 7ak − 1 द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए an = 3.7n−1.
सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए अनुक्रम d1, d2, d3 ..., d1 = 2 तथा `d_k = (d_{k - 1})/k` द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी n ∈ N के लिए, `d_n = 2/(n!)`.
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `n^5/5 + n^3/3 + (7n)/15` एक प्राकृत संख्या है।
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि n भिन्न-भिन्न distinct अवयव वाले (अंतर्विष्ट किए हुए) समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2n है।
यदि P(n) : 2n < n!, n ∈ N, तो P(n) सभी n ≥ ______ के लिए सत्य है।
