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प्रश्न
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2n < (n + 2)!
उत्तर
देखिए प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए P(n) : 2n < (n + 2)!,
अब, P(1) : 2 < (1 + 2)! और 2 < 3! और 2 < 6, सही है। इसलिए, P(1) सत्य है।
आइए हम मान लें कि कुछ प्राकृतिक संख्या n = k के लिए P(n) यह सही है।
P(k) : 2k < (k + 2)! .......(1)
साबित करो P(k + 1) सही है।
P(k + 1) : 2(k + 1) < (k + 1 + 2)!
अथवा 2(k + 1) < (k + 3)!
(1) का उपयोग करें, हम प्राप्त करते हैं,
2(k + 1) = 2k + 2 < (k + 2)! + 2 ..........(2)
देखिए (k + 2)! + 2 < (k + 3)! ..............(3)
⇒ 2 < (k + 3)! − (k + 2)!
⇒ 2 < (k + 2)! [k + 3 − 1]
⇒ 2 < (k + 2)! (k + 2), जो किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सही है।
समीकरण (2) और (3) का उपयोग करें,
2(k + 1) < (k + 3)!
इसलिये,गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।
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