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प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`(1+3/1)(1+ 5/4)(1+7/9)...(1 + ((2n + 1))/n^2) = (n + 1)^2`
उत्तर
माना
P(n) : `(1+3/1)(1+ 5/4)(1+7/9)...(1 + ((2n + 1))/n^2) = (n + 1)^2`
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = `1 + 3/1 = 1 + 3 = 4`
दायाँ पक्ष = `(n +1)^2`
= `(1+ 1)^2 = 2^2 = 4`
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `(1+3/1)(1+ 5/4)(1+7/9)...(1 + ((2k + 1))/k^2) = (k + 1)^2`
(k + 1) वॉ पद = `[1+ (2k +3)/(k +1)^2]` से दोनों पक्षों में गुणा पर,
`(1+3/1)(1+ 5/4)(1+7/9)...(1 + ((2k + 1))/k^2) = [1+(2k +3)/(k +1)^2]`
= `(k + 1)^2 [1 + (2k +3)/(k+1)^2]`
= `(k + 1)^2 [((k+1)^2 + 2k +3)/(k+1)^2]`
= `(k^2 + 2k + 1 + 2k + 3)`
= `k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2 = (k + 1 + 1)^2`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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