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प्रश्न
n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।
उत्तर
मान लीजिए P(n) : n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का गुणज है
n = 1 के लिए n(n + 1)(n + 5) = 1.2.6 = 12 जो 3 का गुणज है
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है
k(k + 1)(k + 5) = 3m
या 3 + 6k2 + 5k = 3m
k के स्थान पर k + 1 रखने पर।
(k + 1)3 + 6(k + 1)2 + 5(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + 6(k2 + 2k + 1) + 5k + 5
= k3 + 9k2 + 20k + 12
= (k3 + 6k2 + 5k) + (3k2 + 15k + 12)
= 3m + 3(k2 + 5k + 4)
यह 3 का एक गुणज है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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