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Question
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n ≥ 5 के लिए, n2 < 2n.
Solution
देखिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या P(n) : n2 < 2n के लिए यह n ≥ 5 से विभाज्य है।
अब, P(5) : 52 < 25 और 25 < 32 सही है।
इसलिए, P(5)सही है।
आइए हम मान लें कि कुछ प्राकृतिक संख्या n = k के लिए P(n) यह सही है।
∴ P(k) : k2 < 2k .........(i)
साबित करो, P(k + 1) सही है।
(k + 1)2 = k2 + 2k + 1 < 2k + 2k + 1 .......(ii)
2k + 2k + 1 < 2k + 1 ..........(iii)
∴ 2k + 2k + 1 < 2 × 2k
2k + 1 < 2k, जो सभी k > 5 के लिए सत्य है।
समीकरण (ii) और (iii) का उपयोग करें,
(k + 1)2 < 2k + 1
इसलिये,जहाँ भी P(k) सत्य है P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत P(n) से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए सही है, n ≥ 5
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