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Question
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `n^5/5 + n^3/3 + (7n)/15` एक प्राकृत संख्या है।
Solution
देखिए
P(n) : `n^5/5 + n^3/3 + (7n)/15`, ∀ n ∈ N
⇒ P(1) : `1^5/5 + 1^3/3 + (7.1)/15 = (3 + 5 + 7)/15 = 15/15 = 1`
इसलिए, P(1) के लिए यह सच है।
⇒ P(k) : sinθ + sin2θ + sin3θ + ... + sinkθ = `(sin (ktheta)/2 sin((k + 1)/2)theta)/(sin theta/2)`
P(k) इसलिए, यह भी सच है।
⇒ P(k + 1) : `(k + 1)^5/5 + (k + 1)^3/3 + (7(k + 1))/15`
= `1/5 [k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1] + 1/3 [k^3 + 3k^2 + 3k + 1] + 7/15k + 7/15`
= `(k^5/5 + k^3/3 + (7k)/15) + (k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k) + 1/5 + 1/3 + 7/15`
= `lambda + k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1`
इसलिए, P(k + 1) के लिए यह सच है।
इसलिए, p(k) जब भी सत्य हो, p(k + 1) सत्य है।
यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए `n^5/5 + n^3/3 + (7n)/15` सही है।
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