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प्रश्न
सदिश `lambdahat"i" + hat"j" + 2hat"k", hat"i" + lambdahat"j" - hat"k"` और `2hat"i" - hat"j" + lambdahat"k"` समतलीय हैं यदि
विकल्प
λ = –2
λ = 0
λ = 1
λ = – 1
उत्तर
सही उत्तर λ = –2 है।
व्याख्या:
मान लीजिए कि `vec"a" = lambdahat"i" + hat"j" + 2hat"kk"`
`vec"b" = hat"i" + lambdahat"j" - hat"k"`
`vec"c" = 2hat"i" - hat"j" + lambdahat"k"`
यदि `vec"a", vec"b", vec"c"` समतलीय हैं, तो
`vec"a" * (vec"b" xx vec"c")` = 0
∴ `|(lambda, 1, 2),(1, lambda, -1),(2, -1, lambda)|` = 0
⇒ λ(l2 – 1) – 1 (λ + 2) + 2(–1 – 2λ) = 0
⇒ λ3 – λ – λ – 2 – 2 – 4λ = 0
⇒ λ3 – 6λ – 4 = 0
⇒ (λ + 2)(λ2 – 2λ – 2) = 0
⇒ λ = – 2 या λ2 – 2λ – 2 = 0
⇒ `lambda = (2 +- sqrt(4 + 8))/2`
⇒ `lambda = (2 +- 2sqrt(3))/2`
∴ `lambda = - 2` या `lambda = 1 +- sqrt(3)`
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सिद्ध कीजिए कि किसी ∆ABC, में `sin"A"/"a" = sin"B"/"b" = sin"C"/"c"`, जहाँ a, b, c क्रमश: A, B, C शीर्षों की सम्मुख भुजाओं के परिमाण को निरूपित करते हैं।
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