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प्रश्न
सिद्ध कीजिए “यदि किसी त्रिभुज की किसी एक भुजा के समांतर खींची गईं रेखा उसकी अन्य दो भुजाओं को दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करे तो वह रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
उत्तर
दत्त: ΔABC में रेखा l || भुजा BC और रेखा l यह भुजा AB को बिंदु P पर तथा भुजा AC को बिंदु Q पर प्रतिच्छेदित करती है।
साध्य: `(AP)/(PB) = (AQ)/(QC)`
रचन: रेख PC तथा रेख BQ खींचिए।
उपपत्ति: ΔAPQ तथा ΔPQB समान ऊँचाई वाले त्रिभुज हैं।
∴ `(A(ΔAPQ))/(A (ΔPQB)) = (AP)/(PB)` ...(आधार के अनुपात में क्षेत्रफल) ...(I)
इसी प्रकार `(A(ΔAPQ))/(A (ΔPQC)) = (AQ)/(QC)` ...(आधार के अनुपात में क्षेत्रफल) ... (II)
ΔPQB तथा ΔPQC में रेख PQ सामान्य आधार है ।रेख PQ || रेख BC इसलिए ΔPQB तथा ΔPQC की ऊँचाई समान है।
A (ΔPQB) = A(ΔPQC) ....(III)
∴ `(A(ΔAPQ))/(A (ΔPQB)) = (A(APQ))/(A(PQC))` ...[(I), (II) तथा (III)] से
∴`(AP)/(PB) = (AQ)/(QC)` ...[(I) तथ (II)] से
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उपपत्ति : ΔXDE में PQ || DE ..........`square`
∴ `"XP"/square = square/"QE"` .............(I) (समानुपात का मूलभूत प्रमेय)
ΔXEF में QR || EF ..........`square`
∴ `square/square = square/square` .........(II) `square`
∴ `square/square = square/square` ..............कथन (I) तथा (II) से
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