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प्रश्न
सरल आवर्त गति करते किसी कण की गति का वर्णन नीचे दिए गए विस्थापन फलन द्वारा किया जाता है,
x(t) = A cos (ωt + φ)
यदि कण की आरंभिक (t = 0) स्थिति 1 cm तथा उसका आरंभिक वेग πcms-1 है। तो कण का आयाम तथा आरंभिक कला कोण क्या है? कण की कोणीय आवृत्ति πS-1 है। यदि सरल आवर्त गति का वर्णन करने के लिए कोज्या (cos) फलन के स्थान पर हम ज्या (sin) फलन चुनें; x = B sin (ωt + α), तो उपर्युक्त आरंभिक प्रतिबंधों में कण का आयाम तथा आरंभिक कला कोण क्या होगा?
उत्तर
दिया है : कोणीय आवृत्ति ω = r rad s-1, t = 0 पर x = 1 cm
तथा प्रारंभिक वेग u = πcm s-1
सरल आवर्त गति की समीकरण x = A cos (ωt + φ)
x = A cos (πt + φ)
t = 0 तथा x = 1 रखने पर, 1 = A cos φ ...(1)
समीकरण (1) से,
वेग `"u"= ("d"x)/("dt") = - "A"pi "sin" (pi"t" + φ)`
t = 0, u = πcm-1 रखने पर,
π = - A π sin φ या 1 = - A sin φ ...(2)
समीकरण (1) व (2) के वर्गों का योग करने पर
12 + 12 = A2 (cos2 φ + sin2 φ) = A2 ⇒ A = `sqrt2` cm
समीकरण (1) व (2) में A का मान रखने पर,
`"cos"φ = 1/sqrt2` तथा `"sin"φ = -1/sqrt2`
अब `"cos" φ = 1/sqrt2 = "cos" pi/4` या `"cos" (2pi - pi/4)`
⇒ `φ =pi/4` या `φ = (7pi)/4`
तथा `"sin"φ = -1/sqrt2 = "sin"(pi + pi/4) ` या `"sin"(2pi - pi/4)`
⇒ φ = `(5pi)/4` या `(7pi)/4`
अतः उभयनिष्ठ मान φ = `(7pi)/4`
∴ आयाम A = `sqrt2` cm
आरंभिक कला कोण φ = `(7pi)/4`
यदि सरल आवर्त गति का समीकरण x = B sin (ωt + φ) हो तो
ω = π rad s-1 रखने पर, x = B sin (πt + φ)
t = 0, x = 1 cm रखने पर, 1 = B sin φ ...(3)
तथा वेग `"u" = ("d"x)/"dt" = "B "pi" cos" (pi"t" + φ)`
u = π rad s-1 तथा t = 0 रखने पर,
`pi = "B"pi"cos"φ` या 1 = B cos φ ...(4)
समीकरण (3) व (4) के वर्गों का योग करने पर
B2 = 12 + 12 ⇒ B = `sqrt2` cm
यह मान समीकरण (3) व (4) में रखने पर,
`"sin"φ = 1/sqrt2` तथा `"cos "φ = 1/sqrt2`
उक्त दोनों को हल करने पर, `φ = pi/4`
∴ आयाम B = `sqrt2` cm
आरंभिक कला कोण φ = `pi/4`
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