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प्रश्न
यदि (a, b), बिंदुओं A(10, –6) और B(k, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है तथा a – 2b = 18 है, तो k का मान और दूरी AB ज्ञात कीजिए।
उत्तर
चूँकि, (a, b) रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है।
∴ (a, b) = `((10 + "k")/2, (-6 + 4)/2)` ...`["चूंकि, बिंदु वाले रेखा खंड का मध्य-बिंदु" (x_1, "y"_1) "और" (x_2, y_2) = ((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)]`
⇒ (a, b) = `((10 + "k")/2, -1)`
अब, दोनों पक्षों के निर्देशांकों को बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है।
∴ a = `(10 + "k")/2` ...(i)
और b = –1 ...(ii)
दिया गया है, a – 2b = 18
समीकरण (ii) से,
a – 2(–1) = 18
⇒ a + 2 = 18
⇒ a = 16
समीकरण (i) से,
16 = `(10 + "k")/2`
⇒ 32 = 10 + k
⇒ k = 22
अतः, k का अभीष्ट मान 22 है।
⇒ k = 22
∴ A = (10 – 6), B = (22, 4)
अब, A(10, –6) और B(22, 4) के बीच की दूरी,
AB = `sqrt((22 - 10)^2 + (4 + 6)^2` ...`[∵ "बिंदुओं के बीच की दूरी" (x_1, y_1) "और" (x_2, y_2), d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)]`
= `sqrt((12)^2 + (10)^2`
= `sqrt(144 + 100)`
= `sqrt(244)`
= `2sqrt(61)`
अतः, AB की आवश्यक दूरी `2sqrt(61)` है।
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