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प्रश्न
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
उत्तर
वर्ग ABCD में दो सम्मुख शीर्ष A(-1, 2) एवं C(3, 2) दिए हैं। मान लीजिए B (x1, y1) एवं D (x2, y2) दो अन्य शीर्ष हैं।
AB = BC (वर्ग की भुजाएँ)
`sqrt((x_1 + 1)^2 + (y_1 - 2)^2) = sqrt((x_1 - 3)^2 + (y_1 - 2)^2)`
⇒ (x1 + 1)2 + (y1 - 2)2 = (x1 - 3)2 + (y1 - 2)2 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x1 + 1)2 = (x1 - 3)2
⇒ x12 + 2x1 + 1 = x12 - 6x1 + 9
⇒ 2x1 + 6x1 = 9 - 1
⇒ 8x1 = 8
⇒ x1 = 88 = 1 ….(1)
∵ AB2 + BC2 = AC2 (समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x1 + 1)2 + (y1 - 2)2 + (x1 - 3)2 + (y1 - 2)2 = (3 + 1)2 + (2 - 2)2
⇒ x12 + 2x1 + 1 + y12 – 4y1 + 4 + x12 - 6x1 + 9 + y12 - 4y1 + 4 = 16 - 0
⇒ 2x12 + 2y12 - 4x1 - 8y1 = 16 - 18 = -2
⇒ x12 + y12 - 2x1 - 4y1 + 1 = 0 …(2)
⇒ x1 = 1 का मान समीकरण (1) से समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ (1)2 + (y1)2 - 2 (1) - 4y1 + 1 = 0
⇒ y12 - 4y1 = 0
⇒ y1 (y1 - 4) = 0
या तो y1 = 0 अथवा y1 - 4 = 0
⇒ y1 = 4
B के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4) हैं।
AD = DC (वर्ग की भुजाएँ हैं)
⇒ `sqrt((x_2 + 1)^2 + (y_2 - 2)^2) = sqrt((x_2 - 3)^2 + (y_2 - 2)^2)`
⇒ (x2 + 1)2 + (y2 - 2)2 = (x2 - 3)2 + (y2 - 2)2 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x2 + 1)2 = (x2 - 3)2
⇒ x22 + 2x2 + 1 = x22 - 6x2 + 9
⇒ 8x2 = 8
⇒ x2 = `8/8` = 1 . …(3)
AD2 + CD2 = AC2 (समकोण ∆ADC में पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x2 + 1)2 + (y2 - 2)2 + (x2 - 3)2 + (y2 - 2)2 = (3 + 1)2 + (2 - 2)2
⇒ x22 + 2x2 + 1 + y22 - 4y2 + 4 + x22 - 6x2 + 9 + y22 - 4y2 + 4 = 16 + 0
⇒ 2x22 + 2y22 - 4x2 - 8y2 = 16 - 18 = -2
⇒ x22 + y22 – 2x2 - 4y2 + 1 = 0 ….(4)
x2 = 1 का मान समीकरण (3) से समीकरण (4) में रखने पर,
⇒ (1)² + y22 - 2 (1) - 4y2 + 1 = 0
⇒ 1 + y22 - 2 - 4y2 + 1 = 0
⇒ y22 - 4y2 = 0
⇒ y2 (y2 - 4) = 0
या तो y2 = 0 अथवा y2 - 4 = 0
⇒ y2 = 4
D के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4)
अतः अभीष्ट शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (1, 0) एवं (1, 4) हैं।
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