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प्रश्न
यदि किसी वृत्त AYDZBWCX की दो जीवाएँ AB और CD समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं (आकृति), तो सिद्ध कीजिए कि चाप CXA + चाप DZB = चाप AYD + चाप BWC = एक अर्धवृत्त है।
उत्तर
दिया गया है - एक वृत्त AYDZBWCX में, दो जीवाएँ AB और CD समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है - चाप CXA + चाप DZB = चाप AYD + चाप BWC = अर्धवृत्त।
रचना - CD के समांतर एक व्यास EF खींचिए जिसका केंद्र M हो।
प्रमाण - चूँकि, CD || FE
चाप EC = चाप PD ...(i)
चाप ECXA = चाप EWB ...[एक वृत्त के व्यास के बारे में सममित]
चाप AF = चाप BF ...(ii)
हम जानते हैं कि, ar ECXAYDF = अर्धवृत्त
चाप EA + चाप AF = अर्धवृत्त
⇒ चाप EC + चाप CXA = चाप FB = अर्धवृत्त ...[समीकरण (ii) से]
⇒ चाप DF + चाप CXA + चाप FB = अर्धवृत्त ...[समीकरण (i) से]
⇒ चाप DF + चाप FB + चाप CXA = अर्धवृत्त
⇒ चाप DZB + चाप C × A = अर्धवृत्त
हम जानते हैं कि, वृत्त स्वयं को दो अर्धवृत्तों में विभाजित करता है, इसलिए वृत्त का शेष भाग भी अर्धवृत्त के बराबर होता है।
∴ चाप AYD + चाप BWC = अर्धवृत्त
अतः सिद्ध हुआ।
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