Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - भूमिती] Official 2022-2023 SSC (Marathi Medium) 10th Standard Board Exam [इयत्ता १० वी] Question Paper Solution

बाजूंच्या लांबी a, b, c असलेल्या त्रिकोणामध्ये जर a² + b² = c² असेल तर तो कोणत्या प्रकारचा त्रिकोण असेल? 

विशालकोन त्रिकोण

लघुकोन त्रिकोण

काटकोन त्रिकोण

समभुज त्रिकोण

एका वर्तुळाच्या जीवा AB आणि जीवा CD परस्परांना वर्तुळाच्या अंतर्भागात बिंदू E मध्ये छेदतात. जर AE = 4, EB = 10, CE = 8, तर ED = किती?

7

5

8

9

आरंभबिंदूचे निर्देशक ______ असतात.

(0, 0)

(0, 1)

(1, 0)

(1, 1)

तळाची त्रिज्या 7 सेमी व उंची 24 सेमी असलेल्या शंकूची तिरकस उंची किती?

23 सेमी

26 सेमी

31 सेमी

25 सेमी

जर ΔABC ∼ ΔPQR आणि `("A"(Delta"ABC"))/(A(Delta"PQR")) = 16/25` तर AB : PQ किती?

एका वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळातील सर्वात मोठया जीवेची लांबी किती?

O(0, 0) आणि P(3, 4) या दोन बिंदूतील अंतर काढा.

वरील आकृतीत ∠L = 35° असेल, तर

1. m(कंस MN) = किती?
2. m(कंस MLN) = किती?

उकल:

1. ∠L = `1/2` m(कंस MN) ............(अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय)
   ∴ `square = 1/2` m(कंस MN)
   ∴ 2 × 35 = m(कंस MN)
   ∴ m(कंस MN) = `square`
2. m(कंस MLN) = `square` - m(कंस MN) ...........(कंसाच्या मापाची व्याख्या)
   = 360° - 70°
   ∴ m(कंस MLN) = `square`

सिद्ध करा:

cotθ + tanθ = cosecθ × secθ

उकल:

डावी बाजू = cotθ + tanθ

= `cosθ/sinθ + sinθ/cosθ`

= `(square + square)/(sinθ xx cosθ)`

= `1/(sinθ xx cosθ)` ............... `square`

= `1/sinθ xx 1/square`

= cosecθ × secθ

= उजवी बाजू

∴ cotθ + tanθ = cosecθ × secθ

एका गोलाची त्रिज्या 7 सेमी असेल तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ काढा.

उकल:

गोलाचे वक्रपृष्ठफळ = 4πr²

= `4 xx 22/7 xx square^2`

= `4 xx 22/7 xx square`

= `square xx 7`

∴ गोलाचे वक्रपृष्ठफळ = `square` सेमी²

समलंब चौकोन ABCD मध्ये, बाजू AB || बाजू PQ || बाजू DC, जर AP = 15, PD = 12, QC = 14 तर BQ काढा.

एका आयताची लांबी 35 सेमी व रुंदी 12 सेमी आहे तर त्या आयताच्या कर्णाची लांबी काढा.

आकृती मध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळावर G, D, E आणि F हे बिंदू आहेत. ∠ECF चे माप 70° आणि कंस DGF चे माप 200° असेल, तर कंस DE आणि कंस DEF यांची मापे ठरवा.

खालील बिंदू एकरेषीय आहेत की नाहीत, हे ठरवा. 

A(-1, -1), B(0, 1), C(1, 3)

एक व्यक्ती एका मंदिरापासून 50 मी. अंतरावर उभा आहे. त्या व्यक्तीने मंदिराच्या कळसाकडे पाहिले असता 45° मापाचा उन्नत कोन तयार होतो. तर त्या मंदिराची उंची किती?

ΔPQR मध्ये रेख PM ही मध्यगा आहे. ∠PMQ व ∠PMR चे दुभाजक बाजू PQ व बाजू PR ला अनुक्रमे X आणि Y बिंदूत छेदतात. तर XY || QR सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

उकल:

ΔPMQ मध्ये,

किरण MX हा ∠PMQ चा कोनदुभाजक आहे.

∴ `"MP"/"MQ" = square/square` .............(I) (कोनदुभाजकाचे प्रमेय)

ΔPMR मध्ये किरण MY हा ∠PMR चा कोनदुभाजक आहे.

∴ `"MP"/"MR" = square/square` .............(II) (कोनदुभाजकाचे प्रमेय)

परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................(III) (M हा QR चा मध्यबिंदू आहे म्हणजेच MQ = MR)

∴ `"PX"/square = square/"YR"` ............(विधान (I), (II) व (III) वरून)

∴ XY || QR ...........(प्रमाणाच्या मूलभूत प्रमेयाचा व्यत्यास)

A(-4, 2) व B(6, 2) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाच्या बिंदू P हा मध्यबिंदू आहे. तर P बिंदूचे निर्देशक काढण्यासाठी कृती पूर्ण करा.

उकल:

(-4, 2) = (x₁, y₁), (6, 2) = (x₂, y₂) आणि बिंदू P चे निर्देशक (x, y) मानू

मध्यबिंदूच्या सूत्रानुसार,

`x = (x_1 + x_2)/2`

∴ `x = (square + 6)/2`

∴ `x = square/2`

∴ x = `square`

`y = (y_1 + y_2)/2`

∴ `y = (2 + square)/2`

∴ y = `4/2`

∴ y = `square`

∴ मध्यबिंदू P चे निर्देशक `square` आहेत.

ΔABC मध्ये रेख AP ही मध्यगा आहे. जर BC = 18, AB² + AC² = 260 तर AP काढा. 

खालील प्रमेय सिद्ध करा:

एकाच कंसात अंतर्लिखित झालेले सर्व कोन एकरूप असतात.

3.3 सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा. त्यामध्ये 6.6 सेमी लांबीची जीवा PQ काढा. बिंदू P व बिंदू Q मधून वर्तुळाला स्पर्शिका काढा. स्पर्शिकांबाबत तुमचे निरीक्षण नोंदवा.

शंकूछेदाच्या वर्तुळाकार भागांच्या त्रिज्या 14 सेमी व 6 सेमी आहेत व त्याची उंची 6 सेमी असल्यास शंकूछेदाचे वक्रपृष्ठफळ काढा.

(π = 3.14)

ΔABC मध्ये रेख DE || बाजू BC. जर 2A(ΔADE) = A(⬜ DBCE), तर AB : AD आणि BC = `sqrt3` DE दाखवा.

ΔSHR ∼ ΔSVU, ΔSHR मध्ये SH = 4.5 सेमी, HR = 5.2 सेमी, SR = 5.8 सेमी, `"HS"/"SV" = 3/5`, तर ΔSVU काढा.

12 सेमी त्रिज्या व 7 सेमी उंची असणाऱ्या वृत्तचिती आकाराच्या भांडयामध्ये आईस्क्रीम पूर्णपणे भरलेले आहे. हे आईस्क्रीम 4 सेमी व्यास व 3.5 सेमी उंची असलेल्या शंकूच्या आकाराच्या कोनामध्ये पूर्ण भरून प्रत्येक विद्यार्थ्याला एक कोन याप्रमाणे वाटण्यात आले, तर भांडयातील पूर्ण आईस्क्रीम किती विद्यार्थ्यांना वाटण्यात येईल?

वरील आकृतिमध्ये दाखविल्याप्रमाणे, ΔABC च्या बाजू BC वरील P बिंदूत एक वर्तुळ बाहेरून स्पर्श करते. वाढवलेल्या रेषा AC व रेषा AB, त्या वर्तुळाला अनुक्रमे बिंदू N व बिंदू M मध्ये स्पर्श करतात. तर सिद्ध करा: AM = `1/2`(ΔABC ची परिमिती)

θ चे निरसन करा:

जर x = r cosθ आणि y = r sinθ