Question

आकृति में, ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC, AB = 18 cm, DC = 32 cm तथा AB और DC के बीच की दूरी = 14 cm है। यदि A, B, C और D को केंद्र मानकर त्रिज्याओं 7 cm के चाप खींचे गये हैं, तो इस आकृति के छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

AB = 18 cm,

DC = 32 cm

AB और DC के बीच की दूरी = ऊँचाई = 14 cm

अब, समलंब का क्षेत्रफल

= ${\displaystyle \frac{1}{2}\times \text{समानांतर भुजाओं का योग}\times \text{ऊँचाई}}$

= ${\displaystyle \frac{1}{2}\times 18+32\times 14}$

= 350 cm²

AB || DC के रूप में,

∴ ∠A + ∠D = 180°

और ∠B + ∠C = 180°

साथ ही, प्रत्येक चाप की त्रिज्या = 7 cm

इसलिए,

केंद्रीय कोण A वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = ${\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{\angle \text{A}}{{180}^{\circ }}\times \pi \times {\text{r}}^2}$

केंद्रीय कोण D वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = ${\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{\angle \text{D}}{{180}^{\circ }}\times \pi \times {\text{r}}^2}$

केंद्रीय कोण B वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = ${\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{\angle \text{B}}{{180}^{\circ }}\times \pi \times {\text{r}}^2}$

केंद्रीय कोण C वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = ${\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{\angle \text{C}}{{180}^{\circ }}\times \pi \times {\text{r}}^2}$

सेक्टरों का कुल क्षेत्रफल,

= ${\displaystyle \frac{\angle \text{A}}{{360}^{\circ }}\times \pi \times {\text{r}}^2+\frac{\angle \text{D}}{{360}^{\circ }}\times \pi \times {\text{r}}^2+\frac{\angle \text{B}}{{360}^{\circ }}\times \pi \times {\text{r}}^2+\frac{\angle \text{C}}{{360}^{\circ }}\times \pi \times {\text{r}}^2}$

= ${\displaystyle (\frac{\angle \text{A}+\angle \text{D}}{{360}^{\circ }}\times \pi \times {\text{r}}^2)+(\frac{\angle \text{B}+\angle \text{C}}{{360}^{\circ }}\times \pi \times {\text{r}}^2)}$

= ${\displaystyle (\frac{{180}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\times \frac{22}{7}\times 49)+(\frac{{180}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\times \frac{22}{7}\times 49)}$

= 77 + 77

= 154

∴ छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल

= समलंब का क्षेत्रफल – (सेक्टरों का कुल क्षेत्रफल)

= 350 – 154

= 196 cm²

अतः, छायांकित क्षेत्र का आवश्यक क्षेत्रफल 196 सेमी² है।