Advertisements
Advertisements
प्रश्न
ΔABC में ∠BAC की समद्विभाजक भुजा BC पर लंब हो तो सिद्ध कीजिए कि D ABC समद्विबाहु त्रिभुज है।
उत्तर
दिया गया : रेख AD, ∠BAC का समद्विभाजक है। रेख AD ⊥ रेख BC.
साध्य : ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ती : ΔABD और ΔACD में,
∠BAD ≅ ∠CAD ...[रेख AD ∠BAC का समद्विभाजक है]
रेख AD ≅ रेख AD ...[सामान्य पक्ष]
∠ADB ≅ ∠ADC ...[प्रत्येक कोण 90° माप का है]
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD ...(सर्वांगसम की को - भु - को कसौटी)
∴ रेख AB ≅ रेख AC
∴ ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
ΔMNP में रेख NQ यह ∠N की समद्विभाजक है। यदि MN = 5, PN = 7, MQ = 2.5 तो QP का मान ज्ञात कीजिए।
आकृति में दी गई जानकारी के आधार पर QP का मान ज्ञात कीजिए।
ΔLMN में किरण MT यह ∠LMN की समद्विभाजक है। LM = 6, MN = 10, TN = 8 तो LT का मान ज्ञात कीजिए।
ΔABC में रेख BD यह ∠ABC की समद्विभाजक है, यदि AB = x, BC = x + 5, AD = x – 2, DC = x + 2 तो x का मान ज्ञात कीजिए।
ΔPQR में रेख PM माध्यिका है। ∠PMQ तथा ∠PMR के समद्विभाजक भुजा PQ तथा भुजा PR को क्रमश: बिंदु X और बिंदु Y पर प्रतिच्छेदित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, XY || QR.
दिए गए रिक्त स्थानों को भरकर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
ΔPMQ में किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `square/square = square/square` ........(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
ΔPMR में किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `square/square = square/square` ........(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................ (बिंदु M यह QR का मध्य बिंदु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/"XQ" = "PY"/"YR"`
∴ XY || QR ............(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
आकृति ΔABC में ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक परस्पर एक दूसरे को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करते हैं। रेखा AX यह भुजा BC को बिंदु Y पर प्रतिच्छेदित करती है; यदि AB = 5, AC = 4, BC = 6 तो `"AX"/"XY"` का मान ज्ञात कीजिए।
ΔPQR में, रेख PM माध्यिका है। ∠PMQ तथा ∠PMR के कोण समद्विभाजक भुजा PQ तथा भुजा PR को क्रमश: बिन्दु X तथा बिन्दु Y पर प्रतिच्छेदित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, XY || QR।
दिए गए रिक्त स्थानों की पूर्ति कर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
हल:
ΔPMQ में,
किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MQ" = square/square` .............(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
उसी प्रकार, ΔPMR में,
किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MR" = square/square` .............(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................(III) (बिन्दु M यह QR का मध्यबिन्दु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/square = square/"YR"` ............[(I), (II) व (III) से]
∴ XY || QR ...........(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
निचे दी गई आकृति के आधार पर बिंदु A, ∠XYZ केसमद्विभाजक पर है। यदि AX = 2 सेमी तो AZ की लंबाई ज्ञात कीजिए ।
निचे दी गई आकृति के आधार पर ∠RST = 56°, रेख PT ⊥ किरण ST, रेख PR ⊥ किरण SR तथा रेख PR ≅ रेख PT हो तो ∠RSP का माप ज्ञात कीजिए। कारणसहित लिखिए।
निचे दी गई आकृति के आधार पर ΔPQR में यदि PQ > PR तथा ∠Q तथा ∠R के समद्विभाजक बिंदु S पर प्रतिच्छेदित करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि SQ > SR
