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प्रश्न
ऐसा वर्गसमीकरण बनाओ जिनके मूल, 2x2 + 2(p + q)x + p2 + q2 = 0 इस समीकरण के मूलों के योगफल का वर्ग, तथा अंतर का वर्ग हों।
उत्तर
2x2 + 2(p + q)x + p2 + q2 = 0 ....(दिया गया समीकरण)
इस समीकरण में, a = 2, b = 2(p + q), c = (p2 + q2)
मानो, दिए गए समीकरण के मूल α तथा β है।
∴ α + β = `(-"b")/"a" = (-2("p" + "q"))/2` = − (p + q) .....(1)
तथा αβ = `"c"/"a" = ("p"^2 + "q"^2)/2` ....(2)
मानो, प्रश्न में पूछे गए वर्गसमीकरण के मूल α1 तथा β1 हैं।
प्रश्न में दी गई जानकारी के अनुसार,
α1 = (α + β)2 तथा β1 = (α − β)2 ....(3)
यदि हम (α1 + β1) तथा (α1 × β1) का मान ज्ञात कर लें, तो पूछे गए वर्गसमीकरण प्राप्त कर लेंगे।
α1 + β1 = (α + β)2 + (α − β)2 .......(4) [कथन (3) से]
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 ....(विस्तार करने पर)
∴ (α + β)2 − 4αβ = α2 + 2αβ + β2 − 4αβ .....(समीकरण के दोनों पक्षों में 4αβ घटाने पर)
∴ (α + β)2 − 4αβ = α2 - 2αβ + β2
∴ (α + β)2 − 4αβ = (α − β)2
∴ (α - β)2 = (α + β)2 − 4αβ
= `[-("p" + "q")]^2 - 4 xx ("p"^2 + "q"^2)/2`
= (p + q)2 − 2(p2 + q2)
= p2 + 2pq + q2 − 2p2 − 2q2
= − p2 + 2pq − q2
= − (p2 − 2pq + q2)
= − (p − q)2
अब कथन (4) से,
α1 + β1 = (α + β)2 - (α − β)2
= [− (p + q)]2 − [− (p − q)]2
= (p + q)2 −(p − q)2
= p2 + 2pq + q2 − (p2 − 2pq + q2)
= p2 + 2pq + q2 − p2 + 2pq − q2
= 4pq
अब α1 × β1 = (α + β)2 × (α − β)2
= [− (p + q)]2 × [− (p − q)2]
= (p + q)2 × [− (p − q)2]
= − [(p + q) (p − q)]2
= − (p2 − q2)2
अब आवश्यक वर्गसमीकरण,
x2 − (α1+ β1)x + α1β1 = 0 ....(सूत्र)
∴ x2 − (4pq)x + [− (p2 − q2)2] = 0
∴ x2 − 4pqx − (p2 − q2)2 = 0
∴ x2 − 4pqx − (p2 − q2)2 = 0 अभीष्ट समीकरण है।
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