Question

एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी और ∠ABC = 60 हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की `3/4` गुनी हों। औचित्य बताइए

Answer 1

∠B = 45°, ∠A = 105°

किसी त्रिभुज के सभी अंतः कोणों का योग 180° होता है।

∠A + ∠B + ∠C = 180°

105° + 45° + ∠C = 180°

∠C = 180° − 150°

∠C = 30°

वांछित त्रिभुज को निम्नानुसार खींचा जा सकता है।

चरण 1

एक ΔABC खींचिए जिसकी भुजा BC = 7 सेमी, B = 45°, C = 30° हो।

चरण 2

शीर्ष A के विपरीत दिशा में BC से न्यून कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए।

चरण 3

BX पर 4 अंक (चूंकि 4 में 4 और 3 में बड़ा है), B₁, B₂, B₃, B₄ का पता लगाएँ।

चरण 4

B₃C. से जुड़ें। B₄ से होकर B₃C के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित BC को C' पर प्रतिच्छेद करती है।

चरण 5

C' से होकर AC के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखाखंड को C' पर काटती है। अभीष्ट त्रिभुज A'BC' है।

औचित्य

निर्माण को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है 

`A'B = 4/3 AB, BC' = 4/3BC , A'C' = 4/3 AC`

n ΔABC and ΔA'BC',

∠ABC = ∠A'BC' (सामान्य)

∠ACB = ∠A'C'B (सभी तरीके से)

∴ ΔABC ∼ ΔA'BC' (AA समानता मानदंड)

`=>(AB)/(A'B) = (BC)/(BC') = (AC)/(A'C') ....1`

In ΔBB₃C and ΔBB₄C',

∠B₃BC = ∠B₄BC' (सामान्य)

∠BB₃C = ∠BB₄C' (सभी तरीके से)

∴ ΔBB₃C ∼ ΔBB₄C' (AA समानता मानदंड)

`=>(BC)/(BC') = `

`=>(BC)/(BC') = 3/4   ...(2)`

समीकरणों (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

`(AB)/(A'B) = (BC)/(BC')=(AC)/(A'C') = 3/4`

`=> A'B = 4/3 AB, BC' = 4/3 BC, A'C' = 4/3 AC`

यह निर्माण को सही ठहराता है।