Question

खालील आकृती मध्ये `square`ABCD हा समलंब चौकोन आहे. AB || DC आहे. P व Q हे अनुक्रमे रेख AD व रेख BC चे मध्यबिंदू आहेत, तर सिद्ध करा की, PQ || AB व PQ = `1/2 ("AB" + "DC")`

Answer 1

पक्ष: `square`ABCD हा समलंब चौकोन आहे.

साध्य: PQ || AB व PQ = `1/2`(AB + DC)

रचना: रेख AQ अशी पुढे वाढवा की, बाजू DC ला पुढे वाढवल्यास, ती बिंदु R ला छेदेल.

सिद्धता:

रेख AB || रेख DC व रेख BC त्यांची छेदिका आहे.

∴ ∠ABC ≅ ∠RCB       ...(व्युत्क्रम कोन)

∴ ∠ABQ ≅ ∠RCQ       ...(i)   ...(B-Q-C)

∆ABQ व ∆RCQ मध्ये,

∠ABQ ≅∠RCQ       ...[(i) वरून]

रेख BQ ≅ रेख CQ      ...(Q हा रेख BC चा मध्यबिंदू आहे.)

∠BQA ≅ ∠CQR       ...(परस्पर विरुद्ध कोन)

∴ ∆ABQ ≅ ∆RCQ        ...(कोबाको कसोटी)

रेख AB ≅ रेख CR       ...(एकरूप त्रिकोणाच्या संगत बाजू)  ...(ii)

रेख AQ ≅ रेख RQ      ...(एकरूप त्रिकोणाच्या संगत बाजू)  ...(iii)

∆ADR मध्ये,

बिंदु P हा रेख AD चा मध्यबिंदू आहे.       ...(पक्ष)

बिंदु Q हा रेख AR चा मध्यबिंदू आहे.      ...[(iii) वरून]

∴ रेख PQ || बाजू DR        ...(मध्यबिंदूचे प्रमेय)

∴ रेख PQ || बाजू DC      ...(iv)    ...(D-C-R)

∴ बाजू AB || बाजू DC       ...(v)    ...(पक्ष)

∴ रेख PQ || बाजू AB      ...[(iv) व (v) वरून]

PQ = `1/2` DR       ...(मध्यबिंदूचे प्रमेय)

= `1/2` (DC + CR)

= `1/2` (DC + AB)       ...[(ii) वरून]

∴ PQ = `1/2` (AB + DC)