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प्रश्न
किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm/s की दर से घट रही हैं। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है?
उत्तर १
माना ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। जिसमें AB = AC = x (माना)
M, BC का मध्य बिन्दु है अर्थात
BM = CM = `b/2`
`AM^2 = AC^2 - MC^2 = x^2 - (b/2)^2`
`= x^2 - b^2/4`
Δ ABC का क्षेत्रफल S = `1/2 xx BC xx AM`
`= 1/2 xx b xx sqrt(x^2 - b^2/4)`
`(dS)/dt = b/2 xx 1/2 xx 1/(sqrt(x^2 - b^2/4)) xx 2x * dx/dt`
`= (bx)/2 xx 2/(sqrt(4x^2 - b^2)) xx dx/dt`
x = b, `dx/dt = 3` रखने पर,
`(dS)/dt = (- 3b * b)/(2 sqrt(b^2 - b^2/4))`
`= (3b)^2/2 * 2/sqrt3b`
`= - sqrt3 b`
त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का ह्रास `sqrt3b` cm2/sec की दर से हो रहा है।
उत्तर २
मान लीजिए कि AB और AC दोनों में से कोई भी बराबर भुजा x है
⇒ `dx/dt = -3` cm/sec.
यदि A, ΔABC का संगत क्षेत्रफल है
`A = 1/2` आधार × ऊँचाई = `1/2 b sqrt (AB^2 - BD^2)`
`= b/2 sqrt (x^2 - (b/2)^2)`
`= b/4 sqrt (4x^2 - b^2)`
`(dA)/dt = b/4 xx 1/2 xx (8x)/ sqrt (4x^2 - b^2) dx/dt`
`= (bx)/ sqrt (4x^2 - b^2) dx/dt`
`((dA)/dt)_(x = b) = ((b xxb)/ sqrt (4b^2 - b^2)) (-3)`
`= - sqrt(3b)`
क्षेत्रफल `b sqrt3` cm2/ sec की दर से घट रहा है।
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