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प्रश्न
एक पाइप से रेत 12 cm3/s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है?
उत्तर
मान लीजिए समय t के किसी क्षण पर शंकु के आधार की त्रिज्या r, उसकी ऊँचाई h तथा रेत के शंकु का आयतन V है, तो
`h = 1/6 r`
= r = 6h
तथा `V = 1/3 pir^2 h = 1/3 pi (6h)^2 h = 12 pi h^3` ....(i)
(i) को t के संबंध में अवकलित करने पर, हम पाते हैं,
`(dV)/dt = (12 pi) (3h^2 (dh)/dt)`
= 12 cm3 /sec
`= 36 pi (4 cm)^2 (dh)/dt`
(∵ h = 4 cm और `(dV)/dt = 12` cm2/sec)
`= (dh)/dt = 12/ (36 pixx 16)` cm /sec
`= 1/(48 pi)` cm/sec
∴ रेत के शंकु की ऊंचाई में वृद्धि की दर `1/(48 pi)` cm/sec.
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