Question

मान लीजिए ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k},\overrightarrow{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+7\hat{k}}$ और ${\displaystyle \overrightarrow{c}=2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}}$, एक ऐसा सदिश ${\displaystyle \overrightarrow{d}}$ ज्ञात कीजिए जो ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ और ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ दोनों पर लांब है और ${\displaystyle \overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}=15}$.

Answer 1

मान लीजिए, ${\displaystyle \overrightarrow{d}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}}$       ....(i)

चूँकि ${\displaystyle \overrightarrow{d}}$ ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ के लंबवत है, हमें मिलता है।

∴ ${\displaystyle (x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})\cdot (\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k})=0}$

⇒ x + 4y + 2z = 0                  ....(ii)

और ${\displaystyle \overrightarrow{d}}$ ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ के लंबवत है,

∴ ${\displaystyle (x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})\cdot (3\hat{i}-2\hat{j}+7\hat{k})=0}$

⇒ 3x - 2y + 7z = 0                     ....(iii)

इसके अलावा ${\displaystyle \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=15}$

⇒ ${\displaystyle (2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k})\cdot (x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})=15}$

⇒ 2x - y + 4z = 15               .....(iv)

(iii) - 3 (ii) देता है - 14y + z = 0                   ...(v)

(iv) - 2 (ii) देता है, -9y = 15                 ....(vi)

(vi) से, हमारे पास है,  ${\displaystyle y=-\frac{5}{3}}$

(v) रखने पर, हमें प्राप्त होता है, ${\displaystyle -14\left(\frac{-5}{3}\right)+z=0}$

⇒ ${\displaystyle z=-\frac{70}{3}}$

(ii) रखने पर, हमें ${\displaystyle x-\frac{20}{3}-\frac{140}{3}=0}$ प्राप्त होता है।

⇒ ${\displaystyle x=\frac{160}{3}}$

(i) रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

${\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{160}{3}\hat{i}-\frac{5}{3}\hat{j}-\frac{70}{3}\hat{k}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}(160\hat{i}-5\hat{j}-70\hat{k})}$