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प्रश्न
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:
a * b = ab2
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
उत्तर
Q पर, ऑपरेशन ∗ के रूप में परिभाषित किया गया है a * b = ab2
यह देखा जा सकता है कि:
`1/2 . 1/3 = 1/2 . (1/3)^2 = 1/2 . 1/9 = 1/18`
`1/3 . 1/2 = 1/3 . (1/2)^2 = 1/3 . 1/4 = 1/12`
∴ `1/2 . 1/3 ne 1/3 . 1/2` जहां `1/2 , 1/3` ∈ Q
इस प्रकार, ऑपरेशन * सराहनीय नहीं है।
यह भी देखा जा सकता है कि:
`(1/2 . 1/3) . 1/4 = [1/2 . (1/3)^2] . 1/4 = 1/18 . 1/4 = 1/18 . (1/4)^2 = 1/(18 xx 16)`
`1/2 . (1/3 . 1/4) = 1/2 . [1/3 . (1/4)^2] = 1/2 . 1/48 = 1/2 . (1/48)^2 = 1/(2 xx (48)^2)`
∴ `(1/2 . 1/3) . 1/4 ne 1/2 (1/3 . 1/4)` जहां `1/2 , 1/3, 1/4` ∈ Q
इस प्रकार, ऑपरेशन * सहयोगी नहीं है।
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निम्नलिखित परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमेय है तथा क्या * साहचर्य है।
Z+ में, a* b = ab द्वारा परिभाषित
समुच्चय {1, 2, 3, 4,5} में a ∧ b = निम्नतम {a, b} द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया पर विचार कीजिए। संक्रिया ∧ के लिए संक्रिया सारणी लिखिए।
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5 * 7, 20 * 16
मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
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मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
क्या * साहचर्य है?
मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
N में * का तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए।
क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} में a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:
a * b = a2 + b2
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:
a * b = a + ab
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:
a * b = (a - b)2
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
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`a * b = a^b/4`
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मान लीजिए कि A = N × N है तथा A में (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d) द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय तथा साहचर्य है। A में * का तत्समक अवयव, यदि कोई है, तो ज्ञात कीजिए।
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है |
