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प्रश्न
निचे दी गई आकृति के आधार पर रेख AD ⊥ रेख BC रेख AE, यह ∠CAB का समद्विभाजक है। E-D-C है
सिद्ध कीजिए ∠DAE = `1/2` (m∠C - m∠B)
उत्तर
दिया गया है: रेख AD ⊥ रेख BC
रेख AE, ∠CAB का समद्विभाजक है
साध्य : ∠DAE = `1/2` (∠C – ∠B)
उपपत्ति :
∴ ∠CAE = `1/2` ∠A ….(i) [रेख AE ∠CAB का समद्विभाजक है]
∆DAE में,
∠DAE + ∠ADE + ∠AED = 180° ...[एक त्रिभुज के कोणों की माप का योग 180° है]
∴ ∠DAE + 90° + ∠AED = 180° [∵ AD ⊥ BC]
∴ ∠DAE = 180° – 90° – ∠AED
∴ ∠DAE = 90° – ∠AED ….(ii)
∆ACE में,
∴ ∠ACE + ∠CAE + ∠AEC = 180° ....[एक त्रिभुज के कोणों की माप का योग 180° है]
∠C + ∠A + ∠AED = 180° [(i) और C-D-E से]
∴ ∠AED = 180° – ∠C – `1/2` ∠A ……(iii)
∴ ∠DAE = 90° – 180°- ∠C+ `1/2` ∠A ...[(iii) को (ii) में स्थानापन्न करने पर]
∴ ∠DAE = ∠C + `1/2` ∠A – 90° …..(iv)
∆ABC में,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∴ `1/2 ∠A + 1/2 ∠B + 1/2 ∠C = 90°` ...[दोनों तरफ 2 से भाग देने पर]
∴ `1/2 ∠A = 90° - 1/2 ∠C - 1/2 ∠B` ...(v)
∴ ∠DAE = ∠C + `(90° 1/2 ∠C - 1/2 ∠B) - 90°` ...[(iv) में (v) प्रतिस्थापित करके]
∴ ∠DAE = `∠C - 1/2 ∠C - 1/2 ∠B`
`= 1/2 ∠C - 1/2 ∠B`
∴ ∠DAE = `1/2`( ∠C - ∠B)
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