Question

निचे दी गई आकृति के आधार पर रेख AD ⊥ रेख BC रेख AE, यह ∠CAB का समद्‌विभाजक है। E-D-C है 

सिद्ध कीजिए ∠DAE = `1/2` (m∠C - m∠B)

Answer 1

दिया गया है: रेख AD ⊥ रेख BC

रेख AE, ∠CAB का समद्विभाजक है

साध्य : ∠DAE = `1/2` (∠C – ∠B)

उपपत्ति : 

∴ ∠CAE = `1/2` ∠A     ….(i) [रेख AE ∠CAB का समद्विभाजक है]

∆DAE में,

∠DAE + ∠ADE + ∠AED = 180°      ...[एक त्रिभुज के कोणों की माप का योग 180° है]

∴ ∠DAE + 90° + ∠AED = 180° [∵ AD ⊥ BC]

∴ ∠DAE = 180° – 90° – ∠AED

∴ ∠DAE = 90° – ∠AED ….(ii)

∆ACE  में,

∴ ∠ACE + ∠CAE + ∠AEC = 180°      ....[एक त्रिभुज के कोणों की माप का योग 180° है]

∠C + ∠A + ∠AED = 180° [(i) और C-D-E से]

∴ ∠AED = 180° – ∠C – `1/2` ∠A    ……(iii)

∴ ∠DAE = 90° – 180°- ∠C+ `1/2` ∠A     ...[(iii) को (ii) में स्थानापन्न करने पर]

∴ ∠DAE = ∠C + `1/2` ∠A – 90° …..(iv)

∆ABC में,

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∴ `1/2 ∠A + 1/2 ∠B + 1/2 ∠C = 90°`  ...[दोनों तरफ 2 से भाग देने पर]

∴ `1/2 ∠A = 90° - 1/2 ∠C - 1/2 ∠B`       ...(v)

∴ ∠DAE = ∠C + `(90° 1/2 ∠C - 1/2 ∠B) - 90°`   ...[(iv) में (v) प्रतिस्थापित करके]

∴  ∠DAE =  `∠C - 1/2  ∠C - 1/2  ∠B`

`= 1/2  ∠C - 1/2  ∠B`

 ∴  ∠DAE = `1/2`( ∠C -  ∠B)