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प्रश्न
निम्नलिखित आकृति में, PSDA एक समांतर चतुर्भुज है। PS पर बिंदु Q और R इस प्रकार लिए गए हैं कि PQ = QR = RS है। तथा PA || QB || RC है। सिद्ध कीजिए कि ar (PQE) = ar (CFD) है।
उत्तर
दिया गया है - एक समांतर चतुर्भुज PSDA में, बिंदु Q और R, PS पर इस प्रकार हैं कि
PQ = QR = RS और PA || QB || RC
सिद्ध करना है - ar (PQE) = ar (CFD)
उपपत्ति - समांतर चतुर्भुज PABQ में,
और PA || QB ...[दिया गया है।]
तो, PABQ एक समांतर चतुर्भुज है।
PQ = AB ...(i)
इसी प्रकार, QBCR भी एक समांतर चतुर्भुज है।
QR = BC ...(ii)
और RCDS एक समांतर चतुर्भुज है।
RS = CD ...(iii)
अब, PQ = QR = RS ...(iv)
समीकरण (i), (ii), (iii) और (iv) से,
PQ || AB ...[∴ समान्तर चतुर्भुज PSDA में, PS || AD]
ΔPQE और ΔDCF में,
∠QPE = ∠FDC ...[चूंकि, PS || AD और PD तिर्यक रेखा है, तो एकांतर अंत: कोण बराबर होते हैं।]
PQ = CD ...[समीकरण (v) से]
और ∠PQE = ∠FCD ...[∴ ∠PQE = ∠PRC संगत कोण और ∠PRC = ∠FCD वैकल्पिक आंतरिक कोण]
ΔPQE = ΔDCF ...[ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा]
∴ ar (ΔPQE) = ar (ΔCFD) ...[चूँकि, सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल समान होता है।]
अतः सिद्ध हुआ।
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