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प्रश्न
समाकलन का प्रयोग करते हुए, उस त्रिभुज द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष (-1, 1), (0, 5) और (3, 2) हैं।
उत्तर
ΔAB के शीर्षों के निर्देशांक A(–1, 1), B(0, 5) और C(3, 2) द्वारा दिए गए हैं।
AB का समीकरण y – 1 = `(5 - 1)/(0 + 1) (x + 1)` है।
⇒ y – 1 = 4x + 4
∴ y = 4x + 4 + 1
⇒ y = 4x + 5 .....(i)
BC का समीकरण y – 5 = `(2 - 5)/(3 - 0) (x - 0)` है।
⇒ y – 5 = –x
∴ y = 5 – x ......(ii)
CA का समीकरण y – 1 = `(2 - 1)/(3 + 1) (x + 1)` है।
⇒ y – 1 = `1/4x + 1/4`
⇒ y = `1/4x + 1/4 + 1`
∴ y = `1/4x + 5/4`
= `1/4 (5 + x)`
ΔABC का क्षेत्रफल = `int_(-1)^0 (4x + 5) "d"x + int_0^3 (5 - x) "d"x - int_(-1)^3 1/4(5 + x)"d"x`
= `4/2 [x^2]_-1^0 + 5[x]_-1^0 + 5[x]_0^3 - 1/2 [x^2]_0^3 - 1/4 [5x + x^2/2]_-1^3`
= `2(0 - 1) + 5(0 + 1) + 5(3 - 0) - 1/2 (9 - 0) - 1/4[(15 + 9/2) - (-5 + 1/2)]`
= `-2 + 5 + 15 - 9/2 - 1/4 (39/2 + 9/2)`
= `18 - 9/2 - 1/4 xx 48/2`
= `18 - 9/2 - 6`
= `12 - 9/2`
= `15/2` वर्ग इकाई
इस प्रकार, वाँछित क्षेत्रफल = `15/2` वर्ग इकाई
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वक्र y = x + 1 तथा x = 2 और x = 3 रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
