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प्रश्न
क्षेत्र `{(x, "y") : "y"^2 ≤ 6"a"x "और" x^2 + "y"^2≤ 16"a"^2}` का एक संभावित आकृति खींचिए। साथ ही,समाकलन की विधि द्वारा इस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दिया है कि: {(x, y) : y2 ≤ 6ax and x 2 + y2 ≤ 16a2}
परवलय का समीकरण y2 = 6ax .....(i)
और वृत्त का समीकरण है x2 + y2 ≤ 16a2 .....(ii)
समीकरण हल करना (i) और (ii)
हमें प्राप्त होता है x2 + 6ax = 16a2
⇒ x2 + 6ax – 16a2 = 0
⇒ x2 + 8ax – 2ax – 16a2 = 0
⇒ x(x + 8a) – 2a(x + 8a) = 0
⇒ (x + 8a)(x – 2a) = 0
∴ x = 2a and x = – 8a. .....(क्षेत्र से बाहर होने के कारण अस्वीकृत)
वाँछित क्षेत्र का क्षेत्रफल
= `2[int_0^(2"a") sqrt(6"a"x) "d"x + int_(2"a")^(4"a") sqrt(16"a"^2 - x^2) "d"x]`
= `2[sqrt(6"a") int_0^(2"a") sqrt(x) "d"x + int_(2"a")^(4"a") sqrt((4"a")^2 - x^2) "d"x]`
= `2sqrt(6"a") * 2/3 * [x^(3/2)]_0^(2"a") + 2[x/2 sqrt((4"a")^2 - x^2) + (16"a"^2)/2 sin^-1 x/(4"a")]_(2"a")^(4"a")`
= `(4sqrt(6))/3 * sqrt("a") [(2"a")^(3/2) - 0] + [xsqrt((4"a")^2 - x^2) + 16"a"^2 sin^-1 x/(4"a")]_(2"a")^(4"a")`
= `(8sqrt(12))/3 "a"^2 + [16"a"^2 8sin^-1 (1) - 2"a"sqrt(12"a"^2) - 16"a"^2 sin^-1 1/2]`
= `(16sqrt(13))/3 "a"^2 + [16"a"^2 * pi/2 - 2"a" * 2sqrt(3)"a" - 16"a"^2 * pi/6]`
= `(16sqrt(3))/3 "a"^2 + 8pi"a"^2 - 4sqrt(3)"a"^2 - 8/3 pi"a"^2`
= `((16sqrt(3))/3 - 4sqrt(3))"a"^2 + 16/3 pi"a"^2`
= `(4sqrt(3))/3 "a"^2 + 16/3 pi"a"^2`
= `4/3 (sqrt(3) + 4pi)"a"^2`
इस प्रकार, वाँछित क्षेत्रफल = `4/3(sqrt(3) + 4pi)"a"^2` वर्ग इकाई
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वक्र y = cosx द्वारा x = 0 और x = π के बीच में परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
परवलय y2 = x और सरल रेखा 2y = x से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
वक्र y = x + 1 तथा x = 2 और x = 3 रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
