Advertisements
Advertisements
प्रश्न
क्षेत्र `{(x, "y") : "y"^2 ≤ 6"a"x "और" x^2 + "y"^2≤ 16"a"^2}` का एक संभावित आकृति खींचिए। साथ ही,समाकलन की विधि द्वारा इस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दिया है कि: {(x, y) : y2 ≤ 6ax and x 2 + y2 ≤ 16a2}
परवलय का समीकरण y2 = 6ax .....(i)
और वृत्त का समीकरण है x2 + y2 ≤ 16a2 .....(ii)
समीकरण हल करना (i) और (ii)
हमें प्राप्त होता है x2 + 6ax = 16a2
⇒ x2 + 6ax – 16a2 = 0
⇒ x2 + 8ax – 2ax – 16a2 = 0
⇒ x(x + 8a) – 2a(x + 8a) = 0
⇒ (x + 8a)(x – 2a) = 0
∴ x = 2a and x = – 8a. .....(क्षेत्र से बाहर होने के कारण अस्वीकृत)
वाँछित क्षेत्र का क्षेत्रफल
= `2[int_0^(2"a") sqrt(6"a"x) "d"x + int_(2"a")^(4"a") sqrt(16"a"^2 - x^2) "d"x]`
= `2[sqrt(6"a") int_0^(2"a") sqrt(x) "d"x + int_(2"a")^(4"a") sqrt((4"a")^2 - x^2) "d"x]`
= `2sqrt(6"a") * 2/3 * [x^(3/2)]_0^(2"a") + 2[x/2 sqrt((4"a")^2 - x^2) + (16"a"^2)/2 sin^-1 x/(4"a")]_(2"a")^(4"a")`
= `(4sqrt(6))/3 * sqrt("a") [(2"a")^(3/2) - 0] + [xsqrt((4"a")^2 - x^2) + 16"a"^2 sin^-1 x/(4"a")]_(2"a")^(4"a")`
= `(8sqrt(12))/3 "a"^2 + [16"a"^2 8sin^-1 (1) - 2"a"sqrt(12"a"^2) - 16"a"^2 sin^-1 1/2]`
= `(16sqrt(13))/3 "a"^2 + [16"a"^2 * pi/2 - 2"a" * 2sqrt(3)"a" - 16"a"^2 * pi/6]`
= `(16sqrt(3))/3 "a"^2 + 8pi"a"^2 - 4sqrt(3)"a"^2 - 8/3 pi"a"^2`
= `((16sqrt(3))/3 - 4sqrt(3))"a"^2 + 16/3 pi"a"^2`
= `(4sqrt(3))/3 "a"^2 + 16/3 pi"a"^2`
= `4/3 (sqrt(3) + 4pi)"a"^2`
इस प्रकार, वाँछित क्षेत्रफल = `4/3(sqrt(3) + 4pi)"a"^2` वर्ग इकाई
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
वक्र ay2 = x3, y-अक्ष तथा y = a और y = 2a रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र x = at2 और y = 2at द्वारा t = 1 और t = 2 के संगत कोटियों के बीच परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
x-अक्ष के ऊपर परवलय y2 = ax और वृत्त x2 + y2 = 2ax के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
रेखा x = `"a"/2` द्वारा वृत्त x2 + y2 = a2 के काटे गए एक लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वृत्त x2 + y2 = 2 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल बराबर है
वक्र y = x2 और रेखा y = 16 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
वक्र x = y2 , y-अक्ष तथा रेखा y = 3 और y = 4 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ______ है।
वक्र y = x2 + x, x-अक्ष तथा x = 2 और x = 5 रेखाओं से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल के ______ बराबर है।
वक्र y2 = 9x, और y = 3x से परिबद्ध क्षेत्रफल का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
रेखा x = 2 और परवलय y2 = 8x से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
क्षेत्र `{(x, 0) : y = sqrt(4 - x^2)}` और x-अक्ष का चित्रण कीजिए। समाकलन का उपयोग करते हुए इस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाकलन का इस्तेमाल करते हुए, रेखा 2y = 5x + 7, x-अक्ष तथा x = 2 और x = 8 रेखाओं से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y = `sqrt(x - 1)` का अंतराल [1, 5] में एक संभावित आकृति खींचिए। इस वक्र के अंतर्गत तथा x = 1 और x = 5 रेखाओं के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
y = `sqrtx` और y = x से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y2 = 2x और x2 + y2 = 4x से परिंबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाकलन का प्रयोग करते हुए, उस त्रिभुज द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष (-1, 1), (0, 5) और (3, 2) हैं।
वक्र y = 2cosx तथा x-अक्ष द्वारा x = 0 से x = 2π तक परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y = 1 + |x +1|, x = –3, x = 3 तथा y = 0 का एक संभावित आकृति खींचिए। समाकलन का प्रयोग करते हुए, इन से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
y-अक्ष, y = cosx, y = sinx, 0 ≤ x ≤ `pi/2` से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
परवलय y2 = x और सरल रेखा 2y = x से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
वृत्त x2 + y2 = 1 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
वक्र x = 2y + 3 तथा y = 1 और y = –1 रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
