Advertisements
Advertisements
प्रश्न
x-अक्ष के ऊपर परवलय y2 = ax और वृत्त x2 + y2 = 2ax के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
वक्रों की दिये हुए समीकरणों को हल करने पर,
हमें प्राप्त होता है: x2 + ax = 2ax
जिससे x = 0 या x = a प्राप्त होते हैं।
इससे क्रमश: y = 0 और y = ± a प्राप्त होता है।
आकृति 8.8 से, ODAB क्षेत्र का क्षेत्रफल
= `int_0^a (sqrt(2"a"x-x^2) - sqrt("a"x)) "d"x`
मान लीजिए कि x = 2a sin2θ है।
तब, dx = 4a sinθ cosθ dθ तथा x = 0,
⇒ θ = 0, x = a
⇒ θ = `pi/4`
पुन:, `int_0"a" sqrt(2"a"x - x^2) "d"x = int_0^(pi/4) (2"a" sintheta costheta)(4"a" sintheta costheta)"d"theta`
= `"a"^2 int_0^(pi/4) (1 - cos 4theta) "d"theta`
= `"a"^2(theta - (sin 4theta)/4)_0^(pi/4)`
= `pi/4 "a"^2` इसके साथ ही,
`int_0^"a" sqrt("a"x) "d"x = sqrt("a") 2/3 (x^(3/2))_0^"a"`
= `2/3 "a"^2`
इस प्रकार, वाँछित क्षेत्रफल = `pi/4 "a"^2 - 2/3 "a"^2`
= `"a"^2 (pi/4 - 2/3)` वर्ग इकाई
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(2, 0), B (4, 5) एवं C (6, 3) हैं।
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए, रेखाओं 2x + y = 4, 3x – 2y = 6 एवं x – 3y + 5 = 0 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
0 और π के बीच, वक्र y = sin x का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
परवलय y2 = 2x और सरल रेखा x - y = 4 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो परवलय y = `(3x^2)/4` और रेखा 3x - 2y + 12 = 0 के बीच में परिबद्ध है।
वृत्त x2 + y2 = 2 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल बराबर है
दीर्घवृत्त `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल बराबर है
वक्र y = x2 और रेखा y = 16 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
परवलय y2 = 2px, और x2 = 2py से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y = x3 , y = x + 6 और x = 0 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y2 = 4x और x2 = 4y से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
y2 = 9x और y = x बीच में पड़ने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
परवलय x2 = y और रेखा y = x + 2 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y = 2`sqrtx` के अंतर्गत x = 0 और x = 1 रेखाओं के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाकलन का इस्तेमाल करते हुए, रेखा 2y = 5x + 7, x-अक्ष तथा x = 2 और x = 8 रेखाओं से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y = `sqrt(x - 1)` का अंतराल [1, 5] में एक संभावित आकृति खींचिए। इस वक्र के अंतर्गत तथा x = 1 और x = 5 रेखाओं के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y = `sqrt("a"^2 - x^2)` के अंतर्गत तथा x = 0 और x = a रेखाओं के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y2 = 2x और x2 + y2 = 4x से परिंबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
रेखा x + 2y = 2, y – x = 1 और 2x + y = 7 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y = 2cosx तथा x-अक्ष द्वारा x = 0 से x = 2π तक परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
y-अक्ष, y = cosx, y = sinx, 0 ≤ x ≤ `pi/2` से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
दीर्घवृत्त `x^2/25 + "y"^2/16` = 1 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
वृत्त x2 + y2 = 1 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
वक्र y = x + 1 तथा x = 2 और x = 3 रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
वक्र x = 2y + 3 तथा y = 1 और y = –1 रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
