Question

संलग्न आकृति में वृत्त का केंद्र P और रेख AB वृत्त की जीवा है। PA = 8 सेमी और जीवा AB वृत्त के केंद्र से 4 सेमी की दूरी पर हो तो रेखांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। `(pi = 3.14, sqrt3 = 1.73)`

Answer 1

मानो कि, PM यह केंद्र से जीवा के बीच की दुरी है |

∴ PM = 4 सेमी

मानो, ∠APM = θ.

समकोण ΔPMA में,

cos θ = `"PM"/"PA"`

∴ cos θ = `4/8`

∴ cos θ = `1/2`

हम जानते है कि, cos 60° = `1/2`

∴ θ = 60°

∴ ∠APM = θ = 60°

इसी प्रकार, ∠BPM = 60°

∠APB = ∠APM + ∠BPM ..........(कोणों का योग गुणधर्म)

∴ ∠APB = 60° + 60°

∴ ∠APB = 120°

रेखांकित भाग यह वृत्तखंड AB है |

वृत्त की त्रिज्या (r) = 8 सेमी

m(चाप AB) = ∠APB = θ₁ = 120°

द्वैत्रिज्य P-AB का क्षेत्रफल = `theta_1/360 xx pir^2`

= `120/360 xx 3.14 xx 8 xx 8`

= 66.986 सेमी²

≈ 66.99 सेमी²

समकोण ΔPMA में,

tan 60° = `"AM"/"PM"` .......(परिभाषा से)

∴ `sqrt3  = "AM"/4`

∴ AM = `4sqrt3` सेमी

रेख PM ⊥ जीवा AB

∴ AM = `1/2`AB .......(केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है |)

∴ `4sqrt3 = 1/2`AB

∴ AB = `2 xx 4sqrt3`

∴ AB = `8sqrt3` सेमी

A(ΔPAB) = `1/2` × AB × PM

A(ΔPAB) = `1/2 xx 8sqrt3 xx 4`

∴ A(ΔPAB) = `16sqrt3`

∴ A(ΔPAB) = 16 × 1.73 .......`(sqrt3 = 1.73)`

∴ A(ΔPAB) = 27.68 सेमी²

A(वृत्तखंड AB) = A(द्वैत्रिज्य P-AB) - A(ΔPAB)

∴ A(वृत्तखंड AB) = 66.99 - 27.68

∴ A(वृत्तखंड AB) = 39.31 सेमी²

रेखांकित भाग का क्षेत्रफल 39.31 सेमी² है |