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प्रश्न
यदि अंकगणितीय श्रृंखला का पहला पद p, दूसरा पद q तथा अंतिम पद r हो, तो उस श्रृंखला के सभी पदों का जोड़ `("q" + "r" - 2"p") xx ("p" + "r")/(2("q"-"p"))` इतना है यह दिखाइये।
उत्तर
पहला पद (t1) = a = p, दूसरा पद (t2) = q, अंतिम पद tn = r
(d) = t2 – t1 = q – p
tn = a + (n – 1) × d
r = p + (n – 1) × (q – p)
(r – p) = (n – 1) × (q – p)
n – 1 = `("r" - "p")/("q" - "p")`
n = `("r" - "p")/("q" - "p") + 1`
n = `("r" - "p" + "q" - "p")/("q"- "p")`
n = `("r" + "q" - 2"p")/("q" - "p")`
Sn = `"n"/2[2"a" + ("n" - 1)"d"]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p")) [2"p" + (("r" + "q" - 2"p")/("q" - "p") - 1) ("q" - "p")]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p")) [2"p" + (("r" + "q" - 2"p" - ("q" - "p"))/("q" -"p")) ("q" - "p")]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p")) [(("r" + "q" - 2"p" - "q" + "p")/("q" - "p")) ("q" - "p")]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p"))[2"p" + (("r" - "p")/("q" - "p")) ("q" - "p")]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p"))[2"p" + "r" - "p"]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p"))["r" + "p"]`
Sn = `("q" +"r" - 2"p") xx (("p" + "r"))/(2("q" - "p"))`
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